Идея метода окрестностей

Формулировка геометрического принципа Дирихле.

• Если в фигуру Ф площади S помещаем несколько фигур суммарной площади S₁, и S₁>S, то какая-то точка будет фигуры Ф будет покрыта как минимум двумя фигурами
• Если в фигуру Ф площади S помещаем несколько фигур суммарной площади S₁, и то S₁<S какая-то точка будет фигуры Ф не будет покрыта фигурами.

Типы задач, где при решении может помочь геометрический принцип Дирихле:

• доказать, что в фигуру нельзя разместить N точек таких, что….
• доказать, что найдется (вполне определенная) фигура, которая содержит m точек…
• какое максимальное (или просто поместятся ли) количество точек, каждая удалена от другой на определенное расстояние, может поместиться в определенной фигуре…

Определение 1. ε – окрестностью точки X называется множество точек плоскости (пространства), которые отдалены от точки X на расстояние не более ε.

Определение 2. ε – окрестностью фигуры Ф называется множество точек плоскости (пространства), которые отдалены от фигуры Ф на расстояние не более ε.

1. Верно ли, что ε – окрестность фигуры Ф совпадает с объединением ε – окрестностей всех точек фигуры Ф?
2. Найдите ε -окрестность и подсчитайте ее площадь для а) круга радиуса 1; б) квадрата со стороной 1; в) прямоугольника a ´ b; г) единичного отрезка; д) объем для ε -окрестности единичного куба (объем шара радиуса R равен 4/3 πR ³).

Идея метода окрестностей.

Для набора точек строятся ε – окрестности (чаще всего непересекающиеся). Затем считается суммарная площадь этих окрестностей. После этого сравнивается площадь ε – окрестности фигуры Ф и суммарную площадь окрестностей точек и применяем геометрический принцип Дирихле.

1. Доказать, что в круге радиуса 9,5 нельзя поместить 400 точек так, чтобы расстояние между каждыми двумя было больше 1.
2. Решите задачу 1 методом окрестностей.
3. Внутри круга радиуса 16 расположено 650 точек. Доказать, что найдется кольцо толщины 1 и внутреннего радиуса 2, содержащее не менее 10 из этих точек.
4. Фигуру из двух перпендикулярных равных отрезков, длина каждого из которых равна 1 см, пересекающихся посередине, назовем крестом. Докажите, что в круге радиуса 10 000 см можно расположить лишь конечное число таких непересекающихся крестов.
5. В квадрате со стороной 1 находятся 6 отрезков длины 0,5.Всегда ли на двух из них найдутся две точки M и N, расстояние между которыми будет не больше 0,25?
6. Внутри квадрата со стороной 10 находится 7 квадратиков со стороной 1. Доказать, что внутри большого квадрата найдется круг радиуса 1, не пересекающийся ни с одним из квадратиков.
7. В квадрате со стороной 100 расположено несколько кругов радиуса 1, причем всякий отрезок длины 10, целиком расположенный внутри квадрата, пересекает хотя бы один круг (именно пересекает, а не касается!) Докажите, что всего кругов не менее 400.