Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Составная формула трапеций и ее погрешность
|
|
Составная формула трапеций имеет вид
(12)
где 
.
Погрешность этой формулы оценивается следующим образом:
(13)
где 
Таким образом, формула трапеций имеет, так же как и формула прямоугольников, второй порядок точности, 
, но ее погрешность оценивается величиной в два раза большей.
где
Учитывая априорно бо́льшую точность последней формулы при том же объёме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников
Допустим, что в некоторой точке x у функции f(x) существует производная r-того порядка f(r)(x) которую точно вычислить либо не удается, либо слишком сложно. В этом случае для приближенного нахождения производных функции используются формулы численного дифференцирования.
Задача численного дифференцирования состоит в приближенном вычислении производных функции f(x) по заданным в конечном числе точек значениям этой функции.
Один из универсальных способов построения формул численного дифференцирования состоит в том, что по значениям функции f(x) в некоторых узлах x0, x1,..., xN строят интерполяционный полином PN(x) (обычно в форме Лагранжа) и приближенно полагают
| f (r)(x) ≈ P(r)N(x), 0 ≤ r ≤ N | (4.1) |
В ряде случаев наряду с приближенным равенством удается (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член R (погрешность численного дифференцирования):
f (r)(x) = P(r)N(x) + R, 0 ≤ r ≤ N
Такие формулы называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой входит величина 
(hi=xi - xi-1) в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования. Формулы с отброшенными остаточными членами называются просто формулами численного дифференцирования.
Ниже приводятся несколько распространенных формул численного дифференцирования с остаточными членами для первой (r=1) и второй (r=2) производных в узлах, расположенных с постоянным шагом hi ≡ h > 0 [6, стр.58]:
r=1, N=1 (два узла):
| f '(x0) = (f1 - f0)/h - hf ''( ξ )/2 | (4.2) |
| f '(x1) = (f1 - f0)/h + hf ''( ξ )/2 | (4.3) |
r=1, N=2 (три узла):
| f '(x0) = (-3f0 + 4f1 - f2)/2h + h2f '''( ξ )/3 | (4.4) |
| f '(x1) = (f2 - f0)/2h - h2f '''( ξ )/6 | (4.5) |
| f '(x2) = (f0 - 4f1 + 3f2)/2h + h2f '''( ξ )/3 | (4.6) |
r=2, N=2 (три узла):
| f ''(x0) = (f0 - 2f1 + f2)/h2 - hf '''( ξ ) | (4.7) |
| f ''(x1) = (f0 - 2f1 + f2)/h2 - h2f (4)( ξ )/12 | (4.8) |
| f ''(x2) = (f0 - 2f1 + f2)/h2 + hf '''( ξ ) | (4.9) |
r=2, N=3 (четыре узла):
| f ''(x0) = (2f0 - 5f1 + 4f2 - f3)/h2 + 11h2f (4)( ξ )/12 | (4.10) |
| f ''(x1) = (f0 - 2f1 + f2)/h2 - h2f (4)( ξ )/12 | (4.11) |
| f ''(x2) = (f0 - 2f1 + f3)/h2 - h2f (4)( ξ )/12 | (4.12) |
| f ''(x3) = (-f0 + 4f1 - 5f2 + 2f3)/h2 + 11h2f (4)( ξ )/12 | (4.13) |
В приведенных формулах ξ есть некоторая точка (своя для каждой из формул) из интервала (x0, xN). Остаточные члены этих формул находятся с помощью формулы Тейлора. При этом предполагается, что на отрезке [ x0, xN ] у функции f(x) непрерывна производная, через которую выражается остаточный член. При четном N в среднем узле для четной производной порядок точности формулы на единицу больше, чем в остальных узлах. Поэтому рекомендуется по возможности использовать формулы численного дифференцирования с узлами, расположенными симметрично относительно той точки, в которой ищется производная.
Date: 2015-08-15; view: 393; Нарушение авторских прав