Теория технических систем

Тема №1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1. Системный подход, определение систем.

2. Виды систем.

3. Основные задачи системного анализа.

1.СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД, ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМ

Теория технических систем сформировалась как самостоятельная наука во второй половине 20 столетия. Наиболее весомый вклад в ее развитие внесли Бусленко Н. П., Гальперин И. И., Саркисян С. А., Болтянский В. Г. и другие ученые. Сегодня теория систем является методологической наукой, определяющей принципы и методы анализа, управления и синтеза систем. По данным Соломенцева Ю.М. только владение системными методами анализа, исследования, проектирования позволяет достичь реальных результатов в науке и технике.

В переводе с греческого (systема) это - целое, составное из частей. Сегодня под системой понимают множество элементов, находящихся в отношениях и связях с друг с другом.

Для систем характерно:

1. Иерархичность структуры. Каждая из систем может расчленяться на отдельные подсистемы, которые в свою очередь могут рассматриваться как совокупность отдельных подсистем и элементов. Система может также являться подсистемой более крупной системы. Например, автомобиль состоит из отдельных агрегатов и узлов (подсистем) и одновременно может рассматриваться в качестве подсистемы автотранспортного предприятия.

2. Наличие связей между элементами, превосходящими по мощности связи этих элементов с элементами, не входящими в систему.

3. Наличие интегрированных качеств. Например, простая совокупность деталей автомобиля (станка), не объединенных должным образом, свойствами автомобиля (станка) не обладает.

4. Наличие пространственно-временных характеристик. Каждая система имеет свой календарь и историю развития. Например, параметры состояния автомобиля изменяются от момента начала эксплуатации до момента списания, когда система прекращает свое существование.

Сущность системного подхода заключается в том, что некоторая область материального мира разбивается на 2 части, одна из которых рассматривается как система, вторая - как окружающая среда. Обязательным условием такого выделения является учет связей системы с окружающей средой. Без связей со средой система мертва. Так, например, автомобиль может перемещаться только в среде, станок не может выдавать обработанные детали, если на него не поступают заготовки и энергия. Все связи системы со средой принято разделять на входные переменные, управляющие воздействия, выходные переменные, возмущающие воздействия. Кроме того, сама система характеризуется совокупностью параметров состояния , рис.1.

Рис.1 Связи системы с окружающей средой.

На рис.1 входные переменные обозначены вектором . К ним отнесены такие, которые поступают из среды на техническую систему и при работе системы в заданный промежуток времени остаются неизменными. Примерами входных переменных являются параметры настройки станка, которые не меняются при обработке одной детали. Вектором

U(t)=(u₁(t),u₂(t),…,u_r(t)) обозначено управляющее воздействие, представляющее собой совокупность входных переменных, которые изменяются в процессе работы системы по заданному закону. К таким переменным, например, относится поперечная подача при круглом наружном шлифовании, которая изменяется за период обработки одной поверхности. Основная часть припуска удаляется при большей подаче, в конце обработки подача уменьшается. За счет такого изменения подачи обеспечивается высокое качество детали при высокой производительности процесса. Наличие вектора управления в значительной степени расширяет эксплуатационные свойства технической системы. Вектор Ω(t), рис. 1, объединяет неконтролируемые, случайно изменяющиеся переменные, поступающих из среды на систему, а также случайные отклонения от заданных значений составляющих векторов X и U. В среду от системы поступают выходные переменные, которые обозначены на рис.1 вектором Y(t)=(y₁(t),y₂(t),…,y_r(t)). Состояние системы в любой момент времени характеризуется совокупностью параметров состояния Z(t)=(z₁(t),z₂(t),…,z_k(t)), которые могут изменяться в процессе работы системы.

2. ВИДЫ СИСТЕМ

Различают следующие виды систем:

1. Статические.

2. Динамические.

3. Квазистатические.

Под динамической системой понимают совокупность взаимодействующих объектов, состояние, которой (совокупности) изменяется во времени.

Квазистатическая система – это система, состояние которой на определённом промежутке времени можно рассматривать как неизменное.

Системы можно также классифицировать по числу составляющих их состав элементов.

Малые системы содержат до10³ элементов, сложные - от 10³ до 10^7, ультросложные – до 10³⁰, суперсложные – более 10³⁰ элементов.

3. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА

Основными задачами теории технических систем являются:

1. Изучение законов функционирования систем с целью более рационального их использования.

2. Определение оптимальных алгоритмов управления системой.

3. Синтез новых, более совершенных, технических систем.

Тема № 2

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ

1. Виды моделей технических систем.

2. Методы планирования экспериментов при изучении поведения системы.

3. Метод последовательного изменения переменных.

4. Обработка экспериментальных данных методом наименьших квадратов.

5. Полный и дробный факторный эксперимент.

6. Обработка экспериментальных данных при полном и дробном факторном экспериментах.

1. Виды моделей технических систем

Все модели разбиваются на 2 класса. К первому относятся модели, описывающие поведение системы, ко второму - модели, отражающие ее структуру. При описании поведения системы не рассматривается её внутреннее содержание. Система представляется в виде чёрного ящика, устанавливается связь выходных переменных с входными переменными и управляющим воздействием, Y(t)=f(X;Ų(t)). При описании структуры система разбивается на составляющие элементы (подсистемы), устанавливаются закономерности работы каждого из них и их взаимосвязи.

Математическая модель системы записывается в виде функций переходов и выходов вида

Z(t)=F(X,U(t));

Y(t)=G(Z(t)).

2. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРЕМЕНТОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ

Описание поведения системы возможно следующими способами:

1. За счёт наблюдения за работой системы, накопления опыта её эксплуатации, создание неформализованных моделей.

2. Наблюдением за работой системы с регистрацией входных и выходных переменных и последующей обработкой статических данных.

3. Постановкой специальных экспериментов, при проведении которых изменяются входные переменные, управляющие воздействия и регистрируются выходные переменные. Результаты обрабатываются и представляются в виде таблиц, графиков, зависимостей.

Наиболее информативным является третий подход.

Все методы планирования экспериментов можно разделить на 2 блока:

1. Методы пассивного планирования экспериментов.

2. Методы активного планирования экспериментов.

При применении методов пассивного планирования план проведения экспериментов составляют один раз и при выполнении экспериментальных исследований его как правило не меняют. Наиболее ярким представителем этого блока является метод последовательного изменения переменных. При применении методов активного планирования, эксперименты ставятся небольшими сериями, результаты каждой серии обрабатываются и анализируются. При необходимости создаётся план следующей серии, которая также ставится, и результаты которой также обрабатываются. Процедура продолжается до получения желаемого результата. К рассматриваемым методам относятся: полный факторный эксперимент, дробный факторный эксперимент, метод латинских квадратов, симплекс-решетчатое планирование и ряд других.

3. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИЗМЕНЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

Исследования поведения системы методом последовательного изменения переменных выполняют в следующей последовательности:

· Определяют выходные и входные переменные, между которыми необходимо установить связь;

· Назначают пределы и уровни изменения входных переменных;

· Проводят экспериментальные исследования, изменяя только одну входную переменную, оставляя остальные постоянными;

· После изучения влияния на выходные переменные первой входной переменной переходят к постановке опытов с изменением второй, третьей и т.д. переменных;

· После окончания экспериментальных исследований их результаты анализируются и представляются в форме таблиц, графиков, зависимостей.

Приведем пример исследования влияния на расход бензина Q (выходная переменная) скорости движения автомобиля V и массы перевозимого груза m, Q=f(V;m)

Определим пределы изменения величин и уровни варьирования. Будем проводить замеры расхода бензина при скоростях V=40;80;120 км/ч и массе перевозимого груза m=2*10³;4*10³;6*10³ кг. Результаты экспериментов сведем в таблицу 1.

Таблица 1. Результаты замеров расхода топлива

4. ОБРАБОТКА ЖКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МЕТОДОМ

НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Для представления результатов экспериментов в виде зависимости подбирается вид уравнения. Наиболее часто с целью аппроксимации экспериментальных данных применяются зависимости вида:

y=a₀+a₁x₁+a₂x₂; (1)

. (2).

При обработке экспериментальных данных таблицы 1 уравнение (1) запишется

Второе уравнение приводится к линейному виду (1) логарифмированием.

При обработке экспериментальных данных методами математической статистики в зависимости (1) известны для каждого опыта Q, V и m, необходимо определить коэффициенты a₀,a₁,a₂. Задача решается методом наименьших квадратов. При определении коэффициентов уравнения (1) методом наименьших квадратов исходят из требования минимизации квадратов отклонений экспериментальных данных от расчетных

, (3)

где y^ - расчетные значения выходной переменной, определяемые по уравнению (1).

При подстановке y^ из уравнения (1) в уравнение (3) при одной входной переменной получим

. (4)

Для вычисления коэффициентов определим частные производные уравнения (4) по a₀ и a₁ и прировняем их нулю

. (5)

Окончательно после несложных преобразований получим

. (6)

5. ПОЛНЫЙ И ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Недостатком методов последовательного изменения переменных является большая трудоёмкость и сложность учета взаимодействия входных переменных. Цель активных методов планирования – получить максимум информации при минимальных затратах средств и времени, выполнив минимальное количество экспериментов. Для достижения этого меняют не одну, а несколько входных переменных. При проведении полного факторного эксперимента при двух переменных и двух уровнях варьирования план эксперимента графически может быть представлен в следующем виде

Рис.2 Графическое представление плана полного факторного эксперимента.

При исследовании влияния режима резания на стойкость режущего инструмента Т

будем одновременно изменять скорость резания V и подачу S, опыты проводим при значениях переменных, определяемых точками 1, 2, 3, 4 плана. Условия проведения опытов запишем в таблицу 2.

Таблица 2. Матрица планирования экспериментов

Для унификации процедуры планирования и обработки экспериментальных данных введем новую систему координат X_1, X₂ с началом в центре плана (S=0.6 мм/об, V=2 м/с). Выберем маштаб новых переменных так, чтобы при минимальных значениях V и S (нижний уровень варьирования) переменные X_1, X₂ были равны -1,а при максимальных значениях V и S (верхний уровень варьирования) - +1. Расчет координат точек в новой системе выполняется по зависимости

, (7)

где S₀ – значение переменной на основном уровне S=0.6;

έ_S – интервал варьирования переменной (для S равен 0,6-0.2=0.4).

Так для точки 1 имеем X₁=(0.2-0.6)/0.4=-1; X₂=(1-2)/1=-1.

Матрица планирования в новой системе координат записана в таблице 2, столбцы 5 и 6. Для сокращения записи единицы при составлении матрицы опускаются и она принимает вид, представленный в таблице 2 столбцами 7 и 8. Для трех переменных при двух уровнях планирования план эксперимента будет определяться восьмью вершинами параллепипеда. Матрица планирования будет иметь вид:

Таблица 3. Матрица планирования полного факторного эксперимента при трех переменных.

При четырех переменных полный факторный эксперимент будет содержать 16 опытов, при пяти – 32 опыта и т. д. В общем случае число опытов при полном факторном эксперименте определяется по зависимости

, (8)

где m – число уровней варьирования,

k – число факторов.

Таким образом, при увеличении числа переменных число опытов возрастает в геометрической прогрессии, появляются опыты, несущие избыточную информацию. С целью снижения числа опытов используется не весь, а только 1/2, 1/4, 1/8 часть плана полного факторного эксперимента. Варианты выбора планов дробных факторных экспериментов приводятся в справочной литературе.

Отметим основные свойства матриц полного и дробного факторного эксперимента:

1. Симметричность относительно центра эксперимента: алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равна нулю.

2. Сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу точек плана эксперимента.

3. Сумма построчных произведений элементов любых двух столбцов равна нулю (свойство ортогональности).

6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ПРИ МНОГОФАКТОРНОМ ПЛАНИРОВАНИИ

Рассмотрим последовательность обработки экспериментальных данных при многофакторном планировании на примере исследования скорости резания и подачи на стойкость инструмента. Данные экспериментальных исследований сведены в таблицу 4.

Таблица 4. Результаты экспериментальных исследований

При составлении матрицы, табл. 4, столбик X₁ X₂, определяющий взаимодействие переменных, получен их произведением. С целью возможности определения дисперсии и оценки воспроизводимости в каждой точке плана выполнено по два опыта. Математическая модель процесса представляется линейным полиномом, который для рассматриваемого примера имеет вид

. (9)

Обработку экспериментальных данных выполним в следующей последовательности:

1. Оценка воспроизводимости процесса. При одинаковом числе параллельных опытов при каждом сочетании уровней факторов воспроизводимость процесса (отсутствие значительных отклонений) определяется по критерию Кохрена. Сравнивается максимальная величина дисперсии с суммарной, критерий вычисляется по формуле

. (10)

Если расчетный критерий оказывается меньше или равным табличному, то процесс считается воспроизводимым. Для выполненных экспериментов

G=0.72/1.56=0.46; G_табл=0.9065, следовательно процесс является воспроизводимым.

1. Если процесс воспроизводим, то определяется дисперсия воспроизводимости или ошибка опыта

. (11)

Для примера =0.39.

1. Вычисление коэффициентов полинома

; , (12)

где X_ij - значение i-й переменной в j-й строке;

- среднее значение выходной переменной в j-й строке.

Для примера а₀=240.0/4=80; а₁=((-1)67.5+(+1)56.5+(-1)62.5+(+1)53.5)/4=-5;

а₂=-2; а₃=0.5.

Зависимость для расчета выходной переменной с учетом полученных значений коэффициентов примет вид

. (13)

4.Выполним оценку значимости коэффициентов регрессии с помощью критерия Стьюдента. Коэффициент считается значимым, если соблюдается неравенство

, (14)

где определяется по таблицам, для примера =2.77 и .

В уравнении (13) незначим коэффициент а₃=0.5. С учетом этого уравнение перепишется

. (15)

1. Оценка адекватности линейной модели выполняется по критерию Фишера, для чего определяется дисперсия адекватности

, (16)

где k – число коэффициентов линейной модели не считая а₀. Для примера .

Критерий Фишера по дисперсии адекватности вычисляется по уравнению

. (17)

Для примера F=1/0.39=2.6. Табличное значение критерия равно 7.7. Следовательно, полученная линейная модель адекватна реальному процессу.

Тема № 3

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ СИСТЕМ

1. Этапы моделирования структуры системы.
2. Декомпозиция систем.
3. Содержательное описание, принятие допущений, разработка формализованных схем.
4. Математические модели системы.
5. Моделирование процесса съема материала при механической обработке.

1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТРУКТУРЫ СИСТЕМЫ

Моделирование структуры сложных технических систем по данным Бусленко Н.П. включает в себя следующие основные этапы:

1. Декомпозиция системы или ее расчленение на подсистемы до требуемого уровня.
2. Содержательное описание работы каждой из подсистем и системы в целом.
3. Принятие допущений.
4. Разработка формализованных схем и моделей.
5. Переработка формализованных схем в математическую модель системы.

2,ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИСТЕМ

При декомпозиции система разделяется на отдельные подсистемы и элементы. При этом устанавливаются все связи каждой из подсистем с окружающей средой и друг с другом. Декомпозиция является достаточно сложным и трудоёмким этапом. Приведем пример декомпозиции операции круглого наружного шлифования, рис 2.

Рисунок 2. Схема связей между подсистемами операции шлифования (цифрами обозначены входные и выходные переменные, перечень которых приведен в таблице 5)

По функциональным признакам операция может быть разбита на подсистемы станка, приспособления, инструмента, заготовки, СОЖ [3]. Каждая из подсистем имеет свой набор свойств, параметров состояния, историю развития, вектор входных и выходных переменных, вектор возмущающих воздействий. Управление процессом осуществляется подсистемой станка, в которую может быть включена и подсистема приспособления. При обработке на автоматизированном оборудовании в целях организации управления необходимо выделять также подсистему числового программного управления. При включении станка его узлы и исполнительные элементы начинают перемещаться, изменяются координаты (параметры состояния) подсистем. Через узлы приспособлений движущие силы и моменты передаются на вход подсистем заготовки, инструмента, СОЖ. При сближении инструмента и заготовки вследствие упругих деформаций в технологической системе появляется радиальное давление инструмента на изделие [3], под действием которого абразивные зерна внедряются в обрабатываемый материал, возникает зона контакта инструмента с заготовкой.

Выделение зоны контакта в отдельную подсистему (см. рисунок 2) несколько условно, так как она представляет собой область взаимного проникновения абразивных зерен в обрабатываемый материал и выступов неровностей заготовки в промежутки между зернами. В то же время в зоне контакта протекают сложные процессы, не присущие по отдельности ни инструменту, ни заготовке. При движении кромки инструмента очерчивают в пространстве заготовки поверхности резания. Ординаты точек образуют последовательность, которая является случайным многомерным процессом. Совокупность таких поверхностей резания может рассматриваться как случайное поле.

Процесс резания в зоне контакта сопровождается пластическими, упругими, температурными деформациями, химическим взаимодействием обрабатываемого материала, инструмента, компонентов СОЖ. Одновременно с копированием формы кромок возникают волны пластической деформации, скалывание и вырывание поверхностных слоев материала заготовки, налипание и приваривание частичек материала, заторможенного на режущих кромках инструмента и в порах круга. В результате изменяются размеры ранее сформированных неровностей. На поверхности появляются царапины, кратеры, выступы, по форме, распределению и размерам относящиеся к различным совокупностям. Процессы пластических, упругих деформаций, хрупкого разрушения зависят от геометрии, кинематики и динамики движения режущих кромок и поэтому могут быть отнесены ко вторичным процессам формообразования. Их случайные поля, как правило, коррелированны с совокупностью поверхностей резания.

Процессы стружкообразования, контакта и трения инструмента с обрабатываемым материалом связаны с появлением сил резания, выделением большого количества тепла, износом и разрушением режущих кромок. Силы резания и тепловой поток вызывают упругие и температурные деформации инструмента, заготовки, узлов станка, приспособления, что приводит к изменению их пространственного расположения и соответствующему изменению размеров и формы зоны контакта. Износ и разрушение кромок обуславливают изменение их числа, формы, распределения, что, в свою очередь, влияет на параметры совокупности поверхностей резания, процессы стружкообразования, параметры обрабатываемой поверхности.

В структурной схеме (см. рисунок 2) [3] это отражено обратными связями, без учета которых, часто бывает невозможна качественная и, в особенности, количественная оценка процесса. Наиболее характерно это для чистовых процессов обработки заготовок абразивного инструмента, для которых точность прогноза должна быть на порядок выше, чем для операций предварительной обработки.

При выполнении системно-структурного анализа необходимо описание свойств подсистем, связей между ними, законов функционирования подсистем и системы в целом. Свойства подсистем включают: временные, пространственные, пространственно-временные, физико-механические и химические характеристики. Входные и выходные переменные отражают связи (отношения) в системе и образуют ее структуру. Переход входных переменных к выходным осуществляется через параметры состояния подсистем.

Последовательный анализ свойств, связей, состояний, законов функционирования подсистем обеспечивает их полное пространственно-временное описание. Так, для подсистемы абразивного инструмента устанавливают:

1. Временные характеристики (календарь подсистемы):

а) время работы инструмента до полного износа; б) стойкость инструмента между правками; в) время обработки заготовки; г) время прохода; д) время оборота заготовки; е) время оборота круга; ж) время прохождения зерном зоны контакта; з) бесконечно малый промежуток времени.

2. Входные переменные и начальные условия:

а) начальное пространственное положение; б) исходная геометрия рабочей поверхности инструмента, физико-механические свойства зерна и связки; в) начальная температура; г) движущие силы и моменты; д) силы и моменты реакций; е) скорость износа инструмента; ж) скорость изнашивания и разрушения режущих кромок; з) тепловой поток из зоны контакта; и) параметры, характеризующие влияние на инструмент СОЖ; к) изменение количества, геометрии и свойств налипающих частичек материала.

3. Координаты (параметры) состояния:

а) координаты положения относительно системы; б) скорости и ускорения движения инструмента и режущих кромок; в) текущая температура; г) текущие размеры, форма инструмента, число, форма, распределение режущих кромок, пор; д) физико-механические и химические свойства материалов зерна и связки; е) количество, геометрия и свойство налипающих частичек материала.

4. Выходные переменные:

а) координаты положения относительно заготовки; б) скорости движения инструмента и режущих кромок; в) размеры, форма инструмента, число, форма, распределение режущих кромок; г) физико-механические и химические свойства материала зерна и связки; д) количество, геометрия и свойства налипающих частичек материала; е) параметры теплового потока в СОЖ, станок и среду.

Подробный анализ основных параметров состояния, входных и выходных переменных для других подсистем выполнен в таблице 5. На структурной схеме (см. рисунок 1) входные и выходные переменные отмечены соответствующими цифрами, что позволяет дать наглядное представление связей между подсистемами. Так, в подсистему инструмента поступают выходные переменные из подсистем станка 2, 1, зоны контакта заготовки с кругом 1, 2, 3, 4, 5. Выходные переменные подсистемы инструмент поступают на входы подсистем станок-приспособление,

Таблица 5 - Основные входные переменные, параметры состояния и выходные переменные операции шлифования.

зона контакта, заготовка, СОЖ. В среду поступают из подсистемы тепловой поток и расход абразивного инструмента.

3. СОДЕРЖАТЕЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ. ПРИНЯТИЕ ДОПУЩЕНИЙ. РАЗРАБОТКА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ СХЕМ

. При выполнении этого этапа даётся достаточно подробное, физически обоснованное словесное описание процессов и структуры составляющих её явлений. Оговариваются начальные условия и формулируются допущения. Этому этапу уделяется достаточно большое внимание. Ошибки в содержательном описании приводят к получению неадекватных математических моделей, к пустой трате времени научного работника.

Допущения принимаются с целью упрощения математической модели. Оговаривается, какие факторы могут быть исключены, как мало влияющие на процесс.

Например, при изучении движения автомобиля можно считать, что плотность воздуха, содержание кислорода постоянны. При механической обработке за время обработки одной поверхности часто считают, что инструмент не изменяет своей геометрии.

Каждое из допущений должно быть строго обоснованно. Рекомендуется произвести оценку погрешности математической модели при принятии того или другого допущения.

Расчётную схему выполняют с целью переработки формализованной схемы в параметрическую математическую модель. Расчётные схемы должны содержать все входные переменные, все параметры состояния и все выходные переменные, которые будут включены в математическую модель системы. Наиболее наглядные примеры расчётных схем можно найти в курсе физики. В качестве примера, на рис. 3 приводится расчетная схема влияния упругих деформаций на размер обработанной поверхности.

Рис. 3. К расчету влияния упругих деформаций технологической системы

на размер обработанной поверхности.

Как известно при механической обработке значительное влияние на точность оказывают упругие деформации технологической системы. При токарной обработке резец настраивается на размер А_н, при отсутствии упругих деформаций должна быть получена поверхность радиусом R_н, при резании возникает радиальная составляющая силы резания Р_y, под действием которой система деформируется на величину y. Фактическое расположение вершины резца относительно детали определяется размером А_ф, действительный радиус обработанной поверхности будет равен R_ф. Отметим входные переменные, параметры состояния и выходные переменные системы.

Входные переменные: диаметр заготовки D, скорость резания V, подача S размер статической настройки А_н. Параметры состояния системы: глубина резания t, радиальная составляющая силы резания Р_y, величина упругих деформаций y, фактическое расположение резца относительно детали, размер А_ф, радиус обработанной поверхности R_ф. Выходная переменная – диаметр обработанной поверхности d. Функции переходов для рассматриваемой системы будут иметь вид

; R_ф=f(R_н, А_н, y). (18)

Функция выхода

d=2(R_н+y). (19)

4, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ

При моделировании систем используется разнообразный математический аппарат, от самого простого до наиболее сложного. Всё зависит от сложности поставленной задачи. Так, например, при моделировании операций шлифования применяют дифференциальное и интегральное исчисления, теорию вероятностей и теорию случайных процессов, теорию поля, теории оптимального и автоматического управления. В качестве примера рассмотрим расчет съема материала при отработке деталей шлифованием.

5. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЪЕМА МАТЕРИАЛА ПРИ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ

Для анализа процессов обработки заготовок необходимо иметь статистический критерий, с помощью которого можно было бы проследить закономерности отображения поверхностей резания в материале заготовки. Для выбора такого критерия рассмотрим в переходной (граничной) области материал-среда, рис. 4, произвольную точку М. Состояние в точке характеризуется двумя событиями: материал в точке может быть либо удален, либо не удален. Каждое событие имеет свою вероятность. Сумма вероятностей событий как событий противоположных равна единице, а значения вероятностей в общем случае могут зависеть от положения точки в граничной области. Назовем вероятность первого события вероятностью удаления материала, второго – вероятностью неудаления материала, введя соответствующие обозначения: и .

Если профиль обработанной поверхности стационарен и относительно начала координат по оси X жестко не закреплен, то вероятность неудаления материала на уровне y, рисунок.4, определяется по пределу отношений суммы длин отрезков b_i, заполненных материалом, к длине сечения , стремящейся к бесконечности,

. (20)

Поскольку сумма выступов, заполненных материалом при стремится к , уравнение (11) может быть записано в виде

, (21)

где λ – математическое ожидание числа выступов на единицу длины сечения;

- математическое ожидание ширины выступа шероховатости поверхности на заданном уровне.

Рассмотрим связь вероятности удаления материала с параметрами поверхностей резания, образующихся при относительном перемещении режущих кромок инструмента и заготовки. Для установления особенностей формирования поверхностей абразивными инструментами проанализируем также такие распространенные методы обработки как точение и фрезерования торцовыми фрезами.

Для расчета вероятности неудаления материала по зависимости (21) необходимо определить λ и M[b ]. Математическое ожидание числа выступов шероховатости с учетом выступов с размерами b =0 равно математическому ожиданию числа впадин и определяется конструкцией инструмента и кинематикой процесса.

Рисунок 4 – Схема к расчету вероятности удаления материала

Для точения

, (22)

где s_о – продольная подача резца на один оборот заготовки;

Для торцового фрезерования

, (23)

где s_z – подача на один зуб фрезы.

Для шлифования λ равно среднему числу зерен, проходящих через единицу сечения.

Ширину единичного выступа вычисляем, когда формообразующие элементы имеют одинаковую геометрию и внедряются на одинаковую глубину

, (24)

где s – расстояние между двумя соседними впадинами поверхностей резания.

Поскольку сумма расстояний и равна ширине сечения поверхности резания на рассматриваемом уровне, уравнение (24) может быть записано:

(25)

Для токарной обработки все переменные, входящие в уравнение (25) можно считать детерминированными величинами и поэтому в пределах слоя шероховатости поверхности

, (26)

где w – расстояние до уровня от впадины поверхности резания;

φ и φ₁ – соответственно главный и вспомогательный углы в плане.

Для процесса торцового фрезерования расстояние между двумя соседними поверхностями резания является величиной случайной в связи с наличием биения зубьев фрезы. По данным выполненных исследований расстояние от центра вращения фрезы до вершин режущих элементов распределено по нормальному закону с параметрами среднего радиуса r_ф и среднеквадратическим отклонением σ. Из теории вероятностей известно, что если случайная величина Y является функцией случайной величины X, то математическое ожидание Y вычисляется по зависимости

, (27)

где - плотность вероятностей распределения случайной величины X.

Для фрезерования зависимость (27) для расчета математического ожидания размера выступа шероховатости принимает вид

, (28)

где - среднее расстояние между поверхностями резания.

В работе [3] теоретически и экспериментально доказано, что для процессов шлифования расстояние между поверхностями резания распределено по показательному закону

. (29)

При этом зависимость (27) принимает вид

. (30)

Соответственно зависимости для расчета вероятностей неудаления материала для процессов фрезерования и шлифования запишутся

, (31)

. (32)

В таблице 6 приводится сопоставление расчетных значений вероятности неудаления материала для трех вариантов: 1) расстояния между поверхностями резания постоянно (точение); 2) расстояния распределены по закону Гаусса (фрезерование); 3) расстояния распределены по показательному закону (шлифование).

При расчетах принято, что угол при вершинах формообразующих элементов равен 96 градусов, число поверхностей резания на мм длины сечения λ =10.

Таблица 6 – Влияние закона распределения между поверхностями резания на вероятность неудаления материала

Из анализа приведенных данных следует, что закон распределения расстояний между поверхностями резания существенно влияет на вероятность неудаления материала на всех уровнях. Наибольшее значение соответствует показательному закону, наименьшее – при постоянстве расстояний s. С изменением закона изменяется и величина слоя шероховатости поверхности. Для токарной обработки она равна 0,05 мм ( =0), для фрезерования – 0,1 мм, для шлифования – 0,16 мм. Снижение шероховатости поверхности при шлифовании достигается за счет значительного увеличения числа поверхностей резания.

Зависимости (31), (32) получены из условия, что все поверхности резания расположены на одном уровне и имеют одинаковую геометрию. На практике этого достичь невозможно. Процесс обработки резанием сопровождается вибрациями, возникающими в технологической системе, для процесса фрезерования характерно не только осевое, но торцевое биение зубьев фрезы, для процесса шлифования абразивные зерна инструмента имеют различную геометрию и располагаются на различных уровнях, каждая вершина имеет свою глубину резания.

При расположении поверхностей резания на различных уровнях их ширина при расчете математического ожидания должна приниматься случайной. Зависимость для расчета при этом принимает вид

, (33)

где - плотность вероятностей распределения размеров поверхностей резания на рассматриваемом уровне.

Поскольку случайные величины s и независимы, внутренний интеграл разбивается на разность двух интегралов, первый из которых равен s, второй – математическому ожиданию . Уравнение (33) принимает вид

, (34)

где - математическое ожидание размера поверхности резания.

Вероятность неудаления материала для процесса шлифования соответственно определится

. (35)

Зависимость для расчета вероятности съема материала вида (35) (32) были впервые предложены в работе [9]. Аналогичные зависимости с использованием других аналитических методов были получены также в работах А. В. Королева и О. Б. Федосеева [10,11]. Так, для расчета отношения суммы сечений выступов шероховатости на заданном уровне к длине участка А. В. Королевым предложена зависимость

. (36)

По определению при левая часть уравнения может быть заменена на вероятность неудаления материала, а . На основании этого при длине участка зависимость (36) идентична зависимости (32), которая получена при использовании вероятностного подхода.

Таким образом, для вычисления вероятностей неудаления материала на любом уровне достаточно рассчитать математическое ожидание числа зерен, проходящих через сечение и математическое ожидание ширины профиля поверхности резания (профиля абразивного зерна).

На рисунке 5 приводятся сопоставления расчетных и экспериментальных значений вероятностей удаления материала для трех вариантов: а) при моделировании вершины зерна конусом с расположением вершин на одном уровне (кривая 1); б) при моделировании вершины параболоидом вращения и их расположением на одном уровне (кривая 2); в) при моделировании параболоидом и расположением вершин на трех уровнях (кривая 3). Для первых двух вариантов принято, что λ =50, для третьего – λ =100.

Рисунок 5 – Изменение вероятности удаления материала по глубине слоя шероховатости при моделировании вершин зерен: 1-конусом, l =50; 2- параболоидом вращения, l =50; 3- параболоидом с расположением верши зерен на трех уровнях, l =100

Экспериментальные данные были получены наложением профилей вершин зерен на исследуемый участок. Положение каждой вершины вдоль числовой оси выбиралось с соблюдением показательного закона распределения. Сопоставление показывает, что расчетные и экспериментальные вероятности удаления материала полностью соответствуют друг другу. Точки, определяющие экспериментальные значения, совместились с теоретическими кривыми для всех рассмотренных вариантов. Предложенные зависимости являются функциональными. Они справедливы для любой формы абразивного зерна и применимы для случая, когда абразивные зерна расположены на поверхности круга на различных расстояниях от центра его вращения. Полученные зависимости выявляют особенности абразивной обработки, как процесса стохастического. Они позволяют провести анализ влияния на вероятность удаления материала не только формы абразивного зерна, но и их распределения по глубине инструмента.

С изменением формы изменяются геометрические параметры поверхностей резания. При моделировании абразивного зерна в виде параболоида вращения с увеличением расстояния от максимальной впадины микрорельефа наблюдается более значительное увеличение вероятности удаления, чем при моделировании вершины конусом. Это объясняется большими значениями ширины профилей абразивных зерен в виде параболоида. Более значительное увеличение вероятности, согласно выполненным расчетам, наблюдается при снижении разновысотности залегания зерен в инструменте. Это подтверждается практическими результатами использования процессов шлифования с тонкой правкой круга, когда за счет снижения разновысотности удается значительно уменьшить шероховатость шлифованной поверхности.

Уравнение (32) справедливо для различных процессов формообразования. Вероятности удаления и неудаления материала на заданном уровне могут быть рассчитаны, если известны число, размеры поверхностей резания, распределение расстояний между ними и распределение по глубине переходной области материал – среда. При сложном процессе формообразования расчет вероятностей основан на изучении каждого из процессов с последующим их совмещением. Например, для двух независимых процессов вероятность неудаления материала вычисляется по теореме умножения вероятностей

(37)

где и - вероятности неудаления материала соответственно для первого и второго процессов.

Для двух зависимых процессов вычисляется вероятность удаления материала по теореме сложения вероятностей.

. (38)

Тема № 4

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

ТЕХНИЧЕСКОЙ. СИСТЕМОЙ

1. Постановка задачи оптимального управления технической системой.

2. Методы решения задач оптимального управления.

3. Метод динамического программирования.

4. Выбор маршрута обработки детали методом динамического программирования.

5. Метод линейного программирования, оптимизация входных переменных методом линейного программирования.

1, ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ

Системный подход позволяет строго сформулировать задачи оптимального управления технической системой. Ставится задача найти такие значения входных переменных X и такие законы изменения управляющих воздействий U(t), которые бы обеспечивали наилучшие значения выходных переменных Y(t).

Для постановки задачи оптимального управления выделим из системы параметры состояния объекта, для механической обработки, например, параметры состояния обрабатываемой детали. Объект имеет начальное Z(0) и конечное Z(t) состояния. Для поверхности детали это могут быть допуск на размер J и шероховатость поверхности R_а, рис.6.

Рис.6. Изменение параметров состояния поверхности при обработке.

Начальное и конечное состояние, как правило, не могут произвольно меняться. Для обрабатываемой детали начальное состояние определяется параметрами заготовки, конечное – чертежом детали. Текущее состояние объекта, как правило, отличается от начального и конечного. Изменение параметров может быть дискретным и непрерывным. При движении автомобиля его координаты в пространстве меняются непрерывно. При обработке деталей, например при обработке отверстия, параметры поверхности (диаметр отверстия) меняются по отношению к технологическому процессу дискретно на каждой технологической операции, рис. 6.

Рис. 6. Изменение диаметра отверстия при выполнении трех последовательных операций.

После первого этапа состояние объекта будет определяться совокупностью параметров Z(1), после второй – Z(2), после третьей – Z(3) и т. д. Число этапов процесса преобразования N может быть заранее оговорено, а может подлежать определению при оптимизации структуры. Так при проектировании технологического процесса предусмотрен этап структурной оптимизации, при выполнении которого ставится задача определения числа и вида технологических операций обработки заготовки. Из анализа рис. 6 следует, что состояния объекта после выполнения j-го этапа определяется его состоянием после окончания j-1-го этапа и управления, выбранного на j-м этапе (принятого метода обработки, вида и геометрии режущего инструмента, режима резания), что можно представить в виде системы уравнений

, (39)

где переменная t (иногда время) может принимать лишь дискретное множество значений t=0, 1, 2, …., N, а N – фиксированное натуральное число.

Зависимость (39) записана для наиболее простых систем, которые не имеют последействия. В общем случае состояние объекта после выполнения j-го этапа может зависеть не только от его состояния после j-1-го этапа, но и от его состояния после j-2, j-3 – го и так далее этапов (системы с последействием), кроме того в уравнениях (39) не учтен вектор возмущающего воздействия Ω(t).

На каждом из выполняемых этапов, как следует из уравнения (39), выбирается собственное управление, причем допустимая область управления не остается постоянной, она зависит от состояния объекта полученного после выполнения предшествующего этапа. Так, при чистовом растачивании внутренней поверхности, которое выполняется после черновой обработки, мы не можем использовать инструмент, режимы резания принятые при черновом обтачивании, при шлифовании поверхности, которое следует за чистовым растачиванием, кардинально меняются и станок и инструмент и режимы обработки. Таким образом, при выполнении каждого этапа U(t) должно выбираться из допустимой области управления, которая зависит от состояния объекта, полученного после предшествующего этапа.

; (40)

Для решения задачи оптимального управления водится несколько понятий. Пространство, в котором изменяется состояние объектов, называется фазовым. Оно может быть многомерным. Координаты произвольной точки фазового пространства называются фазовыми координатами. Траектория, по которой происходит изменение параметров состояния объекта, называется фазовой траекторией. Перевод объекта из начального в конечное состояние может осуществляться по нескольким траекториям, кривые 1, 2 и 3 рис. 5. Движение по каждой из траекторий обеспечивает одинаковый конечный результат – переводит объект в конечное состояние, но по затратным параметрам они не аналогичны. При механической обработке траектории могут отличаться трудоемкостью и себестоимостью изготовления детали. Следовательно, для выбора оптимальной траектории из числа возможных необходимо иметь критерий, который называют критерием эффективности. В машиностроении за такой критерий обычно принимают приведенные затраты, трудоемкость операции, прибыль от производства изделия. В зависимости от поставленных задач критерий может быть различным. Рассматриваю