Решение задач

Задача 19. Определите период полураспада радона, если за 1 сутки из 106 ядер распадается 175000 штук.

Решение. При решении задачи используем закон радиоактивного распада:
(8)
Из него следует
(9)
Через сутки останется N(t)=106 –0,175×106=0,825×106. Подстановка дает
×

Задача 20. Период полураспада одного из изотопов йода составляет 8 суток. Через какое время число атомов этого изотопа уменьшится в 100 раз?

Решение. Неизвестное время распада находим из закона (1)
t=T× =8 суток× =53 суток

Задача 21. Удельное содержание радиоактивного изотопа , усвоенного деревом при его росте, остается постоянной величиной вплоть до его гибели. В погибшем дереве содержание начинает уменьшаться вследствие b - распада. Определите возраст деревянного предмета, обнаруженного при археологических раскопках, если активность, приходящаяся на единицу массы вещества, составляет 0,1 удельной активности свежесрубленного дерева. Период полураспада изотопа равен 5730 годам.

Решение. Задача поясняет метод радиоуглеродного определения возраста археологических находок и возраста различных осадочных пород. Перед началом решения ознакомимся с идеей метода.

Нейтроны, содержащиеся в космических лучах, налетают на атомы азота атмосферы, которые могут превращаться в атомы углерода по схеме
(10)
Изотоп углерода является радиоактивным с периодом полураспада 5730 лет. Образующиеся в верхних слоях атмосферы изотопы перемешиваются с воздухом, окисляются до CO₂. При постоянном потоке космических лучей устанавливается динамическое равновесие между подпиткой атмосферы вновь рождающимися атомами радиоактивного углерода и убылью за счет распадов. Растения усваивают углерод в виде углекислого газа, и отношение скорости усвоения с радиоактивным изотопом к скорости усвоения обычного CO₂ остается постоянной. Так что радиоактивный углерод, участвующий в жизненных циклах растений и животных, имеет строго определенную концентрацию. При установившемся значении концентрации активность равна, примерно, 15 распадам на один грамм углерода в секунду органического происхождения. Это активность живого растения. Определяя активность углерода органического происхождения после гибели растения, можно определить время, прошедшее после гибели.

Следуя идее решения предыдущей задачи, имеем

Задача 22. Определить период полураспада радия, если известно, что кусочек радия массой 1 г выбрасывает 3,7×1010 a -частиц за одну секунду.

Решение. Атомная масса радия равна 226 а.е.м. В одном грамме радия содержится
N0= NA× =6,02×1023× =2,7×1021 (4)
Число выбрасываемых за одну секунду a -частиц равно числу распадающихся ядер за это время. По условию эта величина много меньше N0. Поэтому можно воспользоваться формулой определения числа распадающихся частиц за малое время Dt (см. вывод формулы для вероятности ядру не распасться)
DNрасп=N0lDt (5)
Отсюда
l= (6)
Скорость распадов связана с периодом полураспада соотношением
l = (7)
Поэтому
T= N0×ln2× »5×1010c=1580 лет (8)
В дальнейшем формулу
= (9)
можно использовать без вывода.

Задача 23. Определите число распадных электронов, испускаемых 1 кг изотопа фосфора за одни сутки. Период полураспада изотопа равен 14 суткам.

Задача 24. В микрокалориметр с теплоемкостью 1000 Дж/К помещено 100мг изотопа кобальта (атомная масса 61). При распаде одного ядра кобальта выделяется энергия 2×10-19Дж. Через 50 мин температура калориметра повысилась на 0,06 К. Пренебрегая тепловыми потерями, найдите период полураспада изотопа кобальта.

Решение. Решение в конце концов ложно свестись к использованию формулы T=N0×ln2× . Предварительно надо сравнить с единицей отношение DNрасп/N0. Только при малости этого отношения по сравнению с единицей можно использовать упомянутую формулу. В 100 мг кобальта содержится × NA = × 6,02×1023=9,88×1020. Определим теперь DNрасп. Оно равно выделившейся энергии Q, деленной на энергетический выход распада u: Q/u=10³×0,06/2×10-19=3×1020. Еще пока (с натяжкой) можно воспользоваться приближенной формулой: T=(9,88/3)×0,693×50 мин»114 мин.