Объединение состояний

Во многих приложениях определение асимптотических (стационарных) значений вероятностей состояний с помощью моделей пространств состояний можно упростить, если объединить некоторые множества состояний для того, чтобы они образовали единичное совокупное состояние.

После объединения групп состояний возникает новый процесс с некоторыми новыми состояниями (совокупными состояниями) и с новыми переходами (между совокупными состояниями). В большинстве случаев новый процесс уже не будет Марковским, потому что продолжительности пребывания системы в совокупных состояниях, вообще говоря, распределены не по экспоненциальному закону.

Новый процесс останется Марковским только при удовлетворении условия объединяемости – условия, при котором интенсивности перехода к любому другому состоянию или к группе объединенных состояний одинакова для всех состояний, входящих в рассматриваемую группу. При выполнении этого условия можно рассчитать вероятности нахождения системы в любом состоянии не только для стационарных, но и для нестационарных процессов.

Поясним сказанное выше на примере объединения двух состояний системы в одно (рис. 5.4).

Процесс останется Марковским, то есть интенсивности переходов q _6®1, q _6®2, и q _6®3 останутся независимыми от времени при выполнении следующих условий: q _4®1 = q _5®1, q _4®2 = q _5®2, и q _4®3 = = q _5®3. При этом неважно, равны или нет интенсивности q _4®1, q _4®2 и q _4®3.

Выведем формулы для вычисления вероятностей и частоты возникновения совокупных состояний. Рассмотрим схему (рис. 5.5), в которой несколько состояний j объединены в одно совокупное состояние J.

Вероятность состояния J, обозначаемая P_J, равна сумме всех вероятностей P_j:

.

(5.12)

Вероятности P_j можно складывать, так как события, заключающиеся в том, что система находится в одном из состояний j, взаимоисключающие. Частота возникновения состояний J, обозначаемая W _J, равна сумме всех частот перехода из состояния j в состояние i, находящееся вне J:

,

(5.13)

где при втором преобразовании была выполнена подстановка по формуле (5.8).

Чтобы найти решение, используя пространство состояний, получившееся после объединения состояний j, необходимо знать обозначенные на рис. 5.5 интенсивности переходов q_i®J и q_J®i. Их можно вычислить, исходя из того, что частота переходов от i к J должна быть такой же, как частота переходов от i ко всем состояниям j до их объединения, и аналогично для переходов от J к i. Согласно (5.8) эти требования можно представить как

; ,

(5.14)

откуда

(5.15)

и

.

(5.16)

Если удовлетворены условия объединяемости, то есть если q_j®i одинаковы для всех j, то уравнение (5.16) упрощается:

для .	(5.17)
Рис. 5.4. Объединение состояний 4 и 5 в состояние 6 при условии, что процесс должен остаться Марковским

Рис. 5.5. Объединение состояний j в совокупное состояние J

В заключение найдем интенсивность переходов между двумя совокупными состояниями I и J, каждое из которых состоит из нескольких исходных состояний (естественно непересекающихся). Схематически такая система изображена на рис. 5.6; согласно уравнениям (5.15) и (5.16) эти интенсивности равны:

, .

(5.18)

Если удовлетворены условия объединяемости, то эти уравнения приводятся к виду

для ; для ,

(5.19)

поскольку внутри I все q_i®j не зависят от i, а внутри J все q_j®i не зависят от j.

Рис. 5.6. Переходы между двумя совокупными состояниями

Пример 1. Рассмотрим пространство состояний дублированной системы с неявным резервированием при ограниченном аварийном ремонте (возможен только их последовательный ремонт). Предположим, что оба элемента имеют одинаковую интенсивность отказов l и восстановления m. Пространство состояний тогда приобретает вид, показанный на рис. 5.7, а. После объединения двух состояний, характеризуемых отказом одного элемента в состоянии А, и двух состояний, характеризуемых отказом двух элементов в состоянии В, получается диаграмма пространства состояний, изображенная на рис. 5.7, б.

Легко убедиться в том, что при этом объединении состояний условия объединяемости удовлетворяются.

Для состояния А:

и – условие объединяемости выполняется.

Для состояния B:

– условие объединяемости выполняется.

Вычислим интенсивности переходов в новой диаграмме. Согласно уравнению (5.15)

.

Согласно (5.16) или (5.17)

.

И наконец, согласно (5.18) или (5.19)

и .

а)

б)

Рис. 5.7. Объединение состояний (, ) дублированной системы с неявным резервированием при условии возможности лишь последовательного их ремонта: a – исходная диаграмма пространства состояний; б – конечная диаграмма пространства состояний

Модель, изображенная на рис. 5.7, б, очевидно, значительно проще использовать для расчета, чем модель 5.7, а. Однако некоторая информация, имеющаяся в исходной диаграмме, маскируется в упрощенной диаграмме, например тот факт, что одни ремонты элементов могут выполняться лишь последовательно, становится неразличимым.

Иногда может оказаться целесообразным объединить состояния, если даже условия объединяемости и не выполняются. В этих случаях уравнения, получаемые из диаграммы после объединения состояний, не могут быть использованы для определения неустановившихся значений вероятностей состояний. Несмотря на это, асимптотические значения вероятности состояний и частоты возникновения состояний вычисляются верно.

Пример 2. Рассмотрим пространство состояний, изображенное на рис. 5.7, а. Если объединить состояния 3 и 4, но не объединять состояния 1 и 2, то получится схема, изображенная на рис. 5.8.

Рис. 5.8. Объединение состояний, отвечающий отказу двух элементов (рис. 5.7, а)

При таком объединении условия объединяемости не выполняются:

и .

Но, несмотря на это, асимптотические значения вероятности состояний вычисляются верно. Интенсивности переходов для диаграммы, изображенной на рис. 5.9, находятся следующим образом.

Согласно выражению (5.15)

.

Согласно (5.16)

.

Причем вероятности сокращаются из соображений симметрии, так как P ₃ =P ₄. Аналогично

.

Пример 3. Временная диаграмма состояний системы, которая может находиться в пяти состояниях, представлена на рис. 5.9.

Рис. 5.9. Временная диаграмма состояний системы

Известно следующее:

- продолжительность пребывания системы в каждом из состояний подчинена экспоненциальному закону;

- средняя продолжительность пребывания системы в каждом из состояний:

ч; ч; ч; ч; ч;

- – рабочее состояние; – состояние аварийного ремонта; – состояние планово-предупредительного ремонта.

Задание:

1. Составить диаграмму пространства состояний по данной временной диаграмме состояний системы.

Определить:

- частоту появления каждого из состояний (W₁, W₂, W₃, W₄, W₅);

- вероятность нахождения системы в каждом из пяти состояний в стационарном режиме работы (P ₁(¥), P ₂(¥), P ₃(¥), P ₄(¥), P ₅(¥));

- интенсивности переходов из состояния в состояние (q _1®2, q _1®3, q _3®2, q _4®5 и т. д. – год^-1).

2. Составить диаграмму пространства состояний для данной системы, которая имеет три состояния: S ₅, S ₆, S ₇. Определить с помощью этой диаграммы вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии, состоянии аварийного ремонта и в состоянии планово-предупредительного ремонта для установившегося (стационарного) процесса.

Решение:

Составим диаграмму пространства состояний по данной временной диаграмме состояний системы (рис 5.10).

Рис.. 5.10. Диаграмма пространства состояний системы

Определим частоту появления каждого из состояний.

;

;

;

;

;

.

Определим вероятности нахождения системы в каждом из пяти состояний в стационарном режиме работы.

.

;

;

;

;

.

Определим интенсивности переходов из состояния в состояние.

.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Проведем проверку правильности определения значений интенсивностей перехода системы из i- го состояния.

год^-1.

год^-1;

год^-1;

год^-1;

год^-1;

Составим диаграмму пространства состояний для данной системы, которая имеет три состояния: S ₅, S ₆, S ₇ (рис 5.11).

Рис. 5.11. Диаграмма пространства состояний системы

Определим интенсивности переходов из состояния в состояние.

Определим вероятности нахождения системы в каждом из трех состояний в стационарном режиме работы.

Система уравнений Чемпена – Колмогорова:

Условие нормировки:

Тогда

Подставив в полученную систему уравнений значения интенсивностей переходов из состояния в состояние, определим вероятности нахождения системы в состояниях S ₅, S ₆ и S ₇.

Вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии для стационарном режиме работы равна P ₆(¥) = 0,709, в состоянии аварийного ремонта – P ₇(¥) = 0,119 и в состоянии планово-предупредительного ремонта – P ₅(¥) = 0,172.

Ответ:

1. W₁ = 9 год^-1; W₂ = 17 год^-1; W₃ = 9 год^-1; W₄ = 3 год^-1; W₅ = 4 год^-1;

P₁(¥) = 0,514; P₂(¥) = 0,194; P₃(¥) = 0,051; P₄(¥) = 0,068; P₅(¥) = = 0,172;

q _1®2 = 7,782 год^-1; q _2®1 = 46,392 год^-1; q _1®3 = 5,832 год^-1; q _2®3 = = 30,928 год^-1; q _1®5 = 3,891 год^-1; q _2®5 = 10,309 год^-1; q _3®2 = 117,647 год^-1; q _4®2 = 44,118 год^-1; q _3®4 = 58,824 год^-1; q _5®2 = 23,256 год^-1.

2. P ₆(¥)=0,709; P ₇(¥)=0,119; P ₅(¥)=0,172.

Пример 4. Диаграмма пространства состояний системы представлена на рис. 5.12.

Рис. 5.12. Диаграмма пространства состояний системы

Известно следующее:

- продолжительность пребывания системы в каждом из состояний подчинена экспоненциальному закону;

- все интенсивности переходов из состояния в состояние имеют одинаковые значения:

q _1®2 = q _1®3 = q _1®4 = q _1®5 = q _2®1 = q _2®3 = q _2®4 = q _2®5 = q _3®1 = q _3®2 = q _3®4 = q _3®5 = q _4®1 = q _4®2 = q _4®3 = q _4®5 = q _5®1 = q _5®2 = q _5®3 = q _5®4 = = 2 год^-1;

- S ₁È S ₂È S ₅= S ₆ – работоспособное состояние; S ₃È S ₄= S ₇ – неработоспособное состояние;

- в начальный момент времени система находится в состоянии S ₁.

Задание:

Преобразовав исходную диаграмму пространства состояний в диаграмму с двумя состояниями, определить:

1) вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент времени t = 0,1 года;

2) вероятность безотказной работы в момент времени t = 0,5 года.

Решение:

1. Определение вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии в момент времени t = 0,1года.

Преобразуем исходную диаграмму пространства состояний в диаграмму с двумя состояниями (рис. 5.13).

Рис. 5.13. Диаграмма пространства состояний для определения вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии в момент времени t = 0,1 года

На рис. 5.13 S ₆ – работоспособное, а S ₇ – неработоспособное состояния системы.

Определим интенсивности переходов из состояния в состояние.

Так как условие объединяемости выполняется, то

Составим систему дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова с учетом условия нормировки и определим P _{6 РС} (t = 0,1).

Уравнения Чемпена – Колмогорова:

Условие нормировки:

Тогда

Из первого уравнения найдем P ₆(t) методом разделения переменных:

В этом случае уравнение имеет два решения:

- первое общее решение:

;

- второе общее решение:

.

Найдем частные решения, используя начальное условие P ₁(t = 0) = P_6РС (t = 0) = 1. Первого частного решения не существует. Второе частное решение находится следующим образом:

Тогда

;

;

– частное решение.

Вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент времени t = 0,1 года равна

.

2. Определение вероятности безотказной работы в момент времени t = 0,5 года.

Составим диаграмму пространства состояний для определения вероятности безотказной работы в момент времени t = 0,5 года.

При определении вероятности безотказной работы системы принимают, что восстановление работоспособности системы из неработоспособного состояния невозможно. Диаграмма пространства состояний в этом случае выглядит следующим образом (рис. 5.14):

Рис. 5.14. Диаграмма пространства состояний для определения вероятности безотказной работы системы в момент времени t = 0,5 года

На рис. 5.14 S ₆ – работоспособное, а S ₇ – неработоспособное состояния системы, q _6®7 = 4год^-1.

Составим систему дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова с учетом условия нормировки и определим P_7БР (t = 0,5 лет).

Так как при одной неизвестной имеем одно уравнение, то условие нормировки можно не использовать.

В этом случае уравнение имеет два решения:

- первое общее решение:

;

- второе общее решение:

(уравнение решений не имеет, так как вероятность должна быть положительной).

Найдем частное решение, используя начальные условия P ₁(t = 0) = P_6БР (t = 0) = 1:

Тогда – частное решение.

Вероятность безотказной работы в момент времени t = 0,5 лет:

Ответ:

1. ;

2.

Пример 5. Два одинаковых объекта (А, В) образуют дублированную систему с резервированием замещением и ограниченным аварийным ремонтом. Планово-предупредительные ремонты на объектах не проводятся.

Известно следующее:

- объекты имеют независящие от времени интенсивности переходов: интенсивности отказов: λ_А = λ_В = λ = 2 год^-1; интенсивности восстановления из аварийного ремонта: μ _{АР, А} = μ _{АР, В} = µ _АР = 10 год^-1;

- в начальный момент времени система находится в состоянии S ₁.

Задание:

1) Определить для стационарного режима работы: вероятность работоспособного состояния (РС), вероятность неработоспособного состояния (НС) и вероятность промежуточного состояния (ПС) системы, в котором один из элементов находится в работоспособном, а другой – в неработоспособном состоянии.

2) Составить диаграмму пространства состояний и систему уравнений Чемпена – Колмогорова с условием нормировки для определения вероятности безотказной работы системы.

Решение:

Составим диаграмму пространства состояний для определения вероятностей нахождения системы в работоспособном P _РС(¥), неработоспособном P _НС(¥) и промежуточном P _ПС(¥) состояниях (рис. 5.15).

Рис. 5.15. Диаграмма пространства состояний для определения вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии (дублированная система с резервированием замещением и ограниченным аварийным ремонтом)

Здесь приняты следующие обозначения: а, b – рабочие состояния объектов А или В; , – неработоспособные состояния А или В (в этом состоянии на объекте проводится аварийный ремонт либо объект ожидает его начала); a, b − режим ожидания объекта А или В.

Система может находиться в шести состояниях: S ₁ = a Ç b – состояние, в котором А находится в рабочем состоянии, а B – в режиме ожидания; S ₂ = a Ç b – состояние, в котором B находится в рабочем состоянии, а A – в режиме ожидания; – состояние, в котором А находится в неработоспособном состоянии (состоянии аварийного ремонта), а B – в рабочем состоянии; – состояние, в котором B находится в неработоспособном состоянии (состоянии аварийного ремонта), а A – в рабочем состоянии; – состояние, в котором система находится в неработоспособном состоянии. При этом на объекте A производится аварийный ремонт, так как он раньше отказал. Объект B подвергнется аварийному ремонту после окончания работ на объекте А; – состояние, в котором система находится в неработоспособном состоянии. При этом на объекте B производится аварийный ремонт, так как он раньше отказал. Объект A подвергнется аварийному ремонту после окончания работ на объекте B.

При этом

Составим систему дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова с учетом условия нормировки для стационарного режима и определим вероятности нахождения системы в работоспособном Р_РС (∞), неработоспособном Р_НС (∞) и промежуточном Р_ПС (∞) состояниях.

Условие нормировки:

.

Так как диаграмма пространства состояний симметрична относительно линии ОО´, то

Тогда

Решая данную систему уравнений, получим:

Составим диаграмму пространства состояний для определения вероятности безотказной работы.

При составлении диаграммы пространства состояний в этом случае принимают, что восстановление работоспособности системы из неработоспособного состояния невозможно (рис. 5.16).

Рис. 5.16. Диаграмма пространства состояний для определения вероятности безотказной работы системы (дублированная система с резервированием замещением и ограниченным аварийным ремонтом)

При этом

Составим систему дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова с учетом условия нормировки.

Система уравнений Чемпена – Колмогорова

Условие нормировки:

Ответ:

; ; .

Пример 6. Два одинаковых объекта А и В образуют дублированную систему с постоянным резервированием и ограниченным аварийным ремонтом. Планово-предупредительные ремонты на объектах не производятся.

Известно следующее:

- объекты имеют независящие от времени интенсивности переходов: интенсивности отказов: λ_А = λ_В = λ = 2 год^-1; интенсивности восстановления из аварийного ремонта: μ _{АР, А} = μ _{АР, В} = µ _АР = 10 год^-1;

- в начальный момент времени система находится в состоянии S ₁.

Задание:

1) Определить для стационарного режима работы: вероятность работоспособного состояния (РС), вероятность неработоспособного состояния (НС) и вероятность промежуточного состояния (ПС) системы, в котором один из элементов находится в работоспособном, а другой – в неработоспособном состоянии.

2) Составить диаграмму пространства состояний и систему уравнений Чемпена – Колмогорова с условием нормировки для определения вероятности безотказной работы системы.

Решение:

Составим диаграмму пространства состояний для определения вероятностей нахождения системы в работоспособном P_РС (¥), неработоспособном P_НС (¥) и промежуточном P_ПС (¥) состояниях (рис. 5.17).

Рис. 5.17. Диаграмма пространства состояний для определения вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии (дублированная система с постоянным резервированием и ограниченным аварийным ремонтом)

Система может находиться в пяти состояниях: S ₁ = a Ç b – состояние, в котором А и B находятся в рабочем состоянии; состояния S ₂ – S ₅ аналогичны состояниям, описанным в примере 5.

При этом

Составим систему дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова с учетом условия нормировки для стационарного режима и определим вероятности нахождения системы в работоспособном Р _РС(∞), неработоспособном Р _НС(∞) и промежуточном Р _ПС(∞) состояниях.

Система уравнений Чемпена – Колмогорова:

Условие нормировки:

Так как диаграмма пространства состояний симметрична относительно линии ОО´, то

Тогда

Решая данную систему уравнений, получим:

Составим диаграмму пространства состояний для определения вероятности безотказной работы.

При определении вероятности безотказной работы системы принимают, что восстановление работоспособности системы из неработоспособного состояния невозможно (рис. 5.18).

Рис. 5.18. Диаграмма пространства состояний для определения вероятности безотказной работы системы (дублированная система с постоянным резервированием и ограниченным аварийным ремонтом)

Составим систему дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова с учетом условия нормировки.

Уравнения Чемпена – Колмогорова:

Условие нормировки: .

Ответ:

Примечание. При одинаковых интенсивностях переходов из состояния в состояние элементов надежность дублированной системы с резервированием замещением выше, чем системы с постоянным резервированием.