F-тесты

Рассмотрение г-тестов мы начали с нулевой гипотезы #0: р = р0 и провели проверку возможности ее отклонения при коэффициенте регрессии, равном Ь. Если бы мы отклонили эту гипотезу, то косвенно приняли бы альтернативную гипотезу Я,: Р ф р0.

До сих пор альтернативная гипотеза была лишь простым отрицанием нулевой гипотезы. Если, однако, можно сформулировать альтернативную гипотезу более конкретно, то следует и усовершенствовать процедуру проверки. Проведем исследование трех случаев: первый случай — весьма частный, когда существует единственное альтернативное истинное значение Р, которое мы обозначим Рр второй случай — если Р не равно р0, то оно должно быть больше ро; и третий случай — если величина Р не равна р0, то она должна быть меньше р0.

В этом случае по каким-то причинам существуют только два возможных истинных значения коэффициента прих — р0 и р,. Для определенности допустим, что р, больше, чем р0. Предположим, что мы хотим проверить гипотезу #0 при 5-процентном уровне значимости и используем для этого обычную процедуру, которая уже рассматривалась в этой главе. Мы находим границы для верхнего и нижнего 2,5-процентных «хвостов» /-распределения, считая, что Я0 верна, и обозначим их какА и В на рис. 3.8. Гипотеза Я0 отклоняется, если коэффициент регрессии b оказывается правее точки В или левее точки А.

Далее, если значение b находится справа от 5, то оно намного лучше совместимо с гипотезой Яр чем с гипотезой Я0; вероятность его нахождения справа от В, если истинна гипотеза Яр намного больше, чем при истинности гипотезы Я0. Здесь у нас не должно быть сомнений в том, чтобы отклонить гипотезу #0 и принять гипотезу ЯР

Если, однако, b находится слева от А, то используемая процедура проверки приведет нас к неверному заключению. Последняя требует отклонить гипотезу Я0 и, следовательно, принять гипотезу Я,, несмотря на то что при истинности гипотезы Н{ вероятность нахождения b слева от А ничтожно мала. Мы даже не построили кривой функции плотности вероятности, соответствующей гипотезе Н{. Если такое значение b получается только один раз на миллион случаев при истинности гипотезы Я15 но в 2,5\% случаев при истинности гипотезы Я0, то здесь намного логичнее считать, что истинной является гипотеза Я0. Конечно, в одном случае из миллиона вы сделаете ошибку, но в остальных случаях вы будете правы.

Следовательно, мы отклоним гипотезу Я0, только если b оказывается в верхнем 2,5-процентном «хвосте» распределения, т. е. справа от В. Это означает, что теперь мы выполняем проверку гипотезы с односторонним критерием, сократив в результате вероятность допущения ошибки I рода до 2,5\%. Поскольку уровень значимости определен как вероятность допущения ошибки I рода, то он теперь также составляет 2,5\%.

Как уже отмечалось, экономисты обычно предпочитают проверку гипотез с пяти- и однопроцентным уровнями значимости проверкам с 2,5-процентным уровнем. Если вы хотите провести проверку с 5-процентным уровнем значимости, то вам следует переместить точку В влево так, чтобы получить 5\% вероятности в «хвосте» распределения и увеличить вероятность допущения ошибки I рода до 5\%. (Вопрос. Почему намеренно выбирается увеличение вероятности допущения ошибки I рода? Ответ. Потому что одновременно сокращается вероятность допущения ошибки II рода, т. е. вероятность того, что нулевая гипотеза не будет отклонена, когда она является ложной.)

Если стандартное отклонение величины b известно (что практически маловероятно), а распределение нормально, то точка/?будет находиться eZcraH-дартных отклонениях вправо от Р0, где Z определяется из соотношения Л (Z) =

А Р0 Є р, Ь

= 0,9500 по табл. АЛ. Соответствующее значение для Zравно 1,64. Если стандартное отклонение неизвестно и оценивается как стандартная ошибка величины Ь, то мы должны использовать /-распределение. Можно найти критическое значение / по табл. А.2 для соответствующего числа степеней свободы в колонке, относящейся к 5\%.

Аналогично если вы хотите выполнить проверку с однопроцентным уровнем значимости, то вы перемещаете В вправо до той точки, где «хвост» распределения содержит 1\% вероятности. Если вам пришлось вычислить стандартную ошибку величины Ъ на основе выборочных данных, то нужно найти критическое значение / в колонке, соответствующей 1\%.

В проведенном анализе мы допустили, что р, больше, чем Р0. Очевидно, что если оно будет меньше р0, то можно использовать ту же самую логику для проведения односторонней проверки, выбрав левый «хвост» распределения в качестве критической области гипотезы Я0.

Мощность критерия

В данном конкретном случае мы можем вычислить вероятность допущения ошибки II рода, т. е. принятия ложной гипотезы. Предположим, что мы приняли ложную гипотезу Я0: р = р0 и что на самом деле истинна альтернативная гипотеза Нх: р = р,. Если вернуться к рис. 3.8, то мы примем гипотезу //0, если коэффициент регрессии выборки Ъ оказывается слева от точки В. Так как гипотеза Нх истинна, то вероятность того, что Ь будет отстоять слева от В, описывается областью, которая находится слева от В под кривой функции плотности вероятности, соответствующей гипотезе Hv Что необходимо сделать — это вычислить /-статистику для точки В, считая, что р = Р1? и использовать таблицу /-распределения для нахождения вероятности того, что b больше, чем на / стандартных ошибок, будет отстоять слева от р,.

Если эту вероятность обозначить у, то мощность критерия, определенная как вероятность недопущения ошибки II рода, составляет (1 — у). Очевидно, необходим компромисс между мощностью критерия и уровнем значимости. Чем выше уровень значимости, тем дальше вправо будет сдвинута точка В, тем больше будет у и тем меньше — мощность критерия.

Используя односторонний критерий вместо двустороннего, можно получить большую мощность при любом уровне значимости. Как мы уже видели, при переходе к одностороннему критерию с 5-процентным уровнем значимости точка В на рис. 3.8 сдвигается влево, и тем самым сокращается вероятность принятия ложной гипотезы Я0. Нужно, однако, помнить, что выигрыш в мощности будет получен только в условиях, когда использование одностороннего критерия оправдано.

Н0:Р=ро, Н}:/3>р0

Мы рассмотрели случай, когда альтернативная гипотеза Я, включала конкретное гипотетическое значение Р, (при Р, > Р0). Вполне понятно, что логика, которая привела нас к использованию одностороннего критерия, применима и в более общем случае, когда гипотеза Я, выражается в виде Р1 > ро без указания какого-либо конкретного значения.

Мы по-прежнему хотели бы исключить левый «хвост» распределения из критической области гипотезы, так как низкое значение для b более вероятно получить при гипотезе Я0: р = р0, чем при гипотезе Я,: Р > Р0, а следовательно, это будет говорить в пользу гипотезы Я0, а не против нее. Поэтому мы вновь предпочтем односторонний критерий проверки гипотезы двустороннему, рассматривая правый «хвост» распределения как область непринятия гипотезы. Отметим, что так как ${ не определено, у нас теперь нет возможности вычислить мощность такого критерия.

Н0:Р=р0, Н]:р<р0

Аналогичным образом, если альтернативная гипотеза представлена в виде Я,: Р < Р0, мы предпочтем проверку, основанную на одностороннем критерии, использующем левый «хвост» распределения в качестве области отклонения гипотезы.

Проверки с использованием одностороннего критерия очень важны на практике при решении экономических задач. Как мы уже видели, обычно для установления того, что независимая переменная действительно оказывает влияние на зависимую переменную, формулируется нулевая гипотеза Я0: Р = О, которую затем пытаются опровергнуть. Очень часто гипотеза оказывается достаточно обща, чтобы утверждать, что если jc оказывает влияние на у, то это влияние имеет определенную направленность.

Если у нас есть достаточно веские причины ^читать, что это влияние, скажем, положительно, то можно использовать альтернативную гипотезу Я,: Р > О вместо более общей гипотезы Я,: р ф 0. Это является преимуществом, поскольку критическое значение / для отклонения гипотезы Я0 при проверке по одностороннему критерию будет меньшим, что облегчает отклонение нулевой гипотезы и установление наличия зависимости.

Примеры

При оценивании регрессии расходов на продукты питания мы имели 23 степени свободы. При использовании однопроцентного уровня значимости и двустороннего критерия проверки гипотезы критическое значение / = 2,807. Целесообразно предположить, что размер дохода имеет положительное влияние на уровень расходов на питание. Но тогда для проверки гипотезы можно воспользоваться преимуществами одностороннего критерия, для которого критическое значение имеет меньшую величину, равную 2,500. Причем /-статистика, вычисленная по выборке, равнялась 31,0; поэтому в данном случае улучшение не имеет значения. Оценка коэффициента настолько велика по отношению к стандартной ошибке, что мы отклоняем нулевую гипотезу независимо от того, на каком критерии основывается проверка гипотезы — двустороннем или одностороннем.

В примере зависимости между общей инфляцией и инфляцией, вызванной ростом заработной платы, возможность использования для проверки одностороннего критерия имеет смысл. Нулевая гипотеза состояла в том, что инфляция, вызванная ростом заработной платы, полностью отражена в общей инфляции, и мы имеем Я0: р = 1,0. Было бы целесообразно принять альтернативную гипотезу о том, что Р < 1 из-за повышения производительности труда, которое может привести к более низкому уровню общей инфляции по сравнению с инфляцией, вызванной ростом заработной платы, т. е. Я,: р < 1,0. В результате расчетов получим коэффициент регрессии, равный 0,82, и стандартную ошибку 0,10; тогда /-статистика для нулевой гипотезы составит —1,80. Это значение не столь велико, чтобы отвергнуть гипотезу Я0 при 5-процентном уровне значимости и использовании двустороннего критерия (критическое значение составляет 2,10). Однако если мы используем односторонний критерий проверки, то критическое значение уменьшится до 1,73, и теперь мы можем отклонить нулевую гипотезу. Другими словами, можно сделать вывод о том, что общая инфляция будет значимо ниже инфляции, вызванной ростом заработной платы.

Date: 2015-07-25; view: 483; Нарушение авторских прав