Некоторые рекомендации по выполнению расчетно-графической работы. 2.1 Исходные данные к заданию

2.1 Исходные данные к заданию

Приступая к выполнению контрольной работы, следует уяснить принцип действия предложенной САУ, проанализировать особенности ее работы и получаемый вследствие ее работы результат. Это позволит выявить объект управления и определить управляющее воздействие, формируемое исполнительным устройством системы. На этом этапе следует внимательно проанализировать функциональное назначение каждого из элементов предложенной САУ.

2.2 Составление функциональной схемы системы управления

Рекомендации по составлению функциональных схем приведены в методических указаниях /12/. Для составления функциональной схемы следует выявить из описания системы ее выходной сигнал, объект управления и управляющее воздействие, а также исполнительное устройство, усилительные и преобразующие устройства, измерительное устройство, цепь главной обратной связи. На функциональной схеме следует указать переменную состояния, с помощью которой оценивается характер протекания процесса в системе и изменение которой используется для организации управления, управляющее воздействие, задающие воздействия, сигналы обратных связей, сигналы ошибок рассогласования.

Рекомендуемая литература: / 3, 4, 7, 12/.

2.3 Определение динамического типа звеньев системы

При выполнении этого раздела следует проанализировать назначение рабочих элементов САУ. Учитывая оговоренный в задании конкретный вид элемента, назначение и физический принцип его работы, а также общее математическое описание происходящих в устройстве процессов, следует определить тип соответствующего звена и его передаточную функцию. Необходимые количественные характеристики элементов (передаточные коэффициенты, постоянные времени) приведены в вариантах заданий. Отсутствие сведений о постоянных времени какого-либо элемента означает, что эти постоянные времени пренебрежимо малы и их следует принять равными нулю.

В случае затруднений с определением динамического типа звена рекомендуется определить передаточную функцию через составление уравнения движения /4, 7, 12/.

Пусть дана система, состоящая из электродвигателя и редуктора. Управление электродвигателем осуществляется через изменение напряжения в обмотке управления, на выходе редуктора требуется получить в первом случае частоту вращения (рисунок 2.1 а), во втором – угол поворота (рисунок 2.1 б). В обоих случаях используется один и тот же электродвигатель с передаточным коэффициентом по входному сигналу , электромеханической постоянной времени и электромагнитной постоянной времени , причем

(2.1)

где J – момент инерции вращающихся частей, приведенный к валу электродвигателя; - частота холостого хода; - пусковой момент; - индуктивность якоря; и - сопротивление цепи якоря и цепи управления соответственно.

Редуктор характеризуется передаточным числом , и его инерционностью можно пренебречь ().

При составлении уравнения движения каждого из элементов систем, приведенных на рисунке 2.1, уравнение движения электродвигателя рассматривается без учета нагрузки.

Уравнение движения составляется с учетом прямой пропорциональности скорости вращения выходного вала n напряжению U_вx в обмотке управления, то есть

n~ K₁U_вx. (2.2)

Уравнение движения электродвигателя для системы, приведенной на рисунке 2.1 а, представленное в операторной форме, имеет вид

, (2.3)

где и - операторные изображения соответственно частоты вращения вала двигателя и напряжения в обмотке управления. Тогда передаточная функция электродвигателя по входному воздействию

. (2.4)

Таким образом, в данном случае электродвигатель представляется как колебательное звено.

Рисунок 2.1 – К определению передаточных функций системы
«электродвигатель – редуктор»

Уравнение движения редуктора, представленное в операторной форме, для этого случая следующее:

, (2.5)

где операторное изображение частоты вращения на выходе редуктора. Тогда передаточная функция редуктора

, (2.6)

следовательно, редуктор является безынерционным звеном.

В целом передаточная функция системы, приведенной на рисунке 2.1 а, выглядит следующим образом:

. (2.7)

Для случая, приведенного на рисунке 2.1 б, уравнение движения электродвигателя и его передаточная функция по входному воздействию определяются соотношениями (2.3) и (2.4). Уравнение движения редуктора, представленное в операторной форме, в этом случае имеет вид уравнения (2.5). Однако частота вращения связана с углом поворота соотношением

, (2.8)

или в операторной форме . Поэтому уравнение движения в этом случае представляется в виде

, (2.9)

а передаточная функция редуктора

, (2.10)

то есть в данном случае редуктор представляется как идеальное интегрирующее звено. Передаточная функция системы, приведенной на рисунке 2.1 б:

. (2.11)

Для случая, приведенного на рисунке 2.1 в, уравнение движения электродвигателя определяется соотношением (2.3). Однако, принимая во внимание, что на выходном валу электродвигателя необходимо получить угол поворота, связанный с частотой вращения соотношением

, (2.12)

или в операторной форме , выражение (2.3) запишется в виде

, (2.13)

а передаточная функция электродвигателя по входному воздействию

, (2.14)

Таким образом, электродвигатель в этом случае должен быть представлен как колебательное звено с интегрирующими свойствами.

Уравнение движения редуктора, представленное в операторной форме, в этом случае . (2.15)

Тогда передаточная функция редуктора

, (2.16)

следовательно, редуктор является безынерционным звеном.

Передаточная функция системы, приведенной на рис. 2.1 в, определится как

. (2.17)

Сопоставляя выражения (2.11) и (2.17), можно отметить, что, несмотря на формальное различие в характере представления звеньев в двух последних случаях, передаточные функции соответствующего им эквивалентного звена одинаковы.

Аналогичные заключения можно получить на основе анализа уравнений движения гидравлического двигателя, у которого скорость движения штока гидроцилиндра пропорциональна величине входного сигнала, в качестве которого может выступать расход жидкости или ее давление.

Измерительные устройства - датчики в большинстве случаев можно представить как безынерпионные звенья (индуктивные, тензометрические, пьезоэлектрические датчики), а термоэлектрические и пневматические датчики - как инерционные звенья. Большинство усилителей (электронные, тиратронные, тензометрические, гидро- и пневмозолотники) - это безынерционные звенья, а магнитные усилители следует представить в качестве инерционных звеньев. Электромашинные усилители, если это не оговорено особо, следует представить в качестве двух последовательно соединенных инерционных звеньев, представляющих собой обмотку управления и цепь короткозамкнутых щеток. Тиристорные усилители-преобразователи, являющиеся импульсными элементами, применительно к данному заданию можно рассматривать приближенно как инерционные звенья.

Устройства, в качестве характеристик которых заданы значения передаточного коэффициента и постоянные времени и , следует представить как колебательные звенья с передаточной функцией

. (2.18)

Постоянные времени этих устройств связаны соотношением

, (2.19)

где x - коэффициент демпфирования.

В случае представления звена как колебательного необходимо проверить выполнение условия > , и если оно выполняется, звено следует представить как апериодическое звено 2-го порядка с постоянными времени

. (2.20)

Форма представления передаточной функции электродвигателя, у которого заданы электромеханическая и электромагнитная постоянные времени, несколько иная:

. (2.21)

Однако здесь следует проверить выполнение условия > , и, если это условие выполняется, звено представляется как апериодическое звено второго порядка с постоянными времени

. (2.22)

В тех случаях, когда электромагнитными процессами в якоре электродвигателя можно пренебречь, электродвигатель может быть представлен как инерционное звено с постоянной времени .

Процесс резания рекомендуется представить как инерционное звено, характеристики которого оговариваются в задании.

Рекомендуемая литература: /2, 3, 4, 7, 8, 9, 12/.

2.4 Составление структурной схемы САУ

Структурная схема системы изображает состав системы автоматического управления и характер взаимодействия ее элементов с точки зрения их внутренних динамических свойств.

При разработке структурной схемы необходимо проанализировать предложенную САУ с учетом типа и характера конструктивных элементов, входящих в нее. После этого, на основании составленной выше функциональной схемы САУ, необходимо составить структурную схему системы управления, указав при этом конкретные передаточные функции отдельных элементов системы. На схеме следует указать вид сигналов, поступающих на вход каждого элемента системы и единицы их измерения.

Рекомендуемая.литература: /3, 7, 9/.

2.5 Определение структурной устойчивости системы

При определении структурной устойчивости системы следует помнить, что структурно устойчивыми называют системы, которые можно сделать устойчивыми только за счет выбора параметров их элементов без изменения их структуры. Структурно неустойчивые системы можно сделать устойчивыми только при изменении их структуры, например, подключением дополнительных корректирующих звеньев или обратных связей. Системы, состоящие из любого числа инерционных и колебательных звеньев, структурно устойчивы. Системы, состоящие из любого числа инерционных и колебательных звеньев и одного интегрирующего звена, также являются структурно устойчивыми. Системы, состоящие из любого числа инерционных и колебательных звеньев и двух интегрирующих звеньев, структурно неустойчивы.

Следует иметь в виду, что структурная устойчивость системы еще не означает, что данная система при данных значениях параметров будет устойчивой. Но если она окажется неустойчивой, то ее можно сделать устойчивой соответствующим выбором параметров ее рабочих элементов. Для анализа устойчивости структурно устойчивых систем используют алгебраические и частотные критерии устойчивости.

Если же система оказывается структурно неустойчивой, то расчет ее устойчивости не имеет смысла – такая система заведомо неустойчива. Поэтому прежде всего надо менять структурную схему такой системы.

Рекомендуемая литература: /4/.

2.6 Приведение структурной схемы САУ к эквивалентной схеме, состоящей из одного звена, охваченного обратной связью

Используя правила преобразования структурных схем, следует привести структурную схему САУ к эквивалентной схеме, состоящей из одного звена, охваченного обратной связью. При отсутствии в системе перекрещивающихся связей такие преобразования выполняются непосредственным применением правил определения передаточных функций эквивалентных звеньев при последовательном или параллельном соединении, а также при соединении с обратной связью. При наличии в системе перекрещивающихся связей вначале следует избавиться от таких связей, используя правила переноса узлов или сумматоров.

Рекомендуемая литература: /2, 3, 4, 5, 7/.

2.7 Исследование устойчивости САУ с помощью логарифмических частотных характеристик

Логарифмических частотные характеристики широко используются при анализе систем автоматического управления, оценках качества переходных процессов и синтезе САУ. В рамках контрольной работы построение ЛЧХ требуется для оценки устойчивости САУ.

Логарифмические амплитудно-частотная (ЛАЧХ) и фазовая частотная (ЛФЧХ) характеристики строятся для разомкнутой системы. В расчетно-графической работе следует построить асимптотическую ЛАЧХ методом частотных интервалов /12/.

На этом этапе следует рассчитать передаточный коэффициент САУ (для разомкнутой системы). При определении передаточного коэффициента САУ следует обратить внимание на необходимость выражения размерностей передаточных коэффициентов отдельных звеньев в одной системе единиц.

Для нахождения логарифмической амплитудно-частотной функции следует определить модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы.

Сначала рекомендуется составить выражение для передаточной функции разомкнутой цепи системы . Разомкнутая система - это цепочка последовательно соединенных звеньев, входящих в замкнутый контур внешней обратной связи. Поскольку все предусмотренные заданиями системы одноконтурные, то разомкнутые системы (цепи) для любого внешнего воздействия будут одинаковыми.

Для этого следует записать передаточную функцию разомкнутой системы по задающему воздействию в операторной и частотной форме и найти выражение для модуля последней функции. Поскольку выражение для передаточной функции разомкнутой системы получается перемножением передаточных функций отдельных звеньев, входящих в замкнутый контур внешней обратной связи, то модуль определяется через перемножение модулей передаточных функций звеньев.

Далее следует определить сопрягающие частоты, записать частотные интервалы и выражения функции для каждого из этих интервалов и построить асимптотическую ЛАЧХ системы.

Для построения ЛФЧХ необходимо записать выражение для логарифмической фазовой частотной функции системы, построить ЛФЧХ отдельных звеньев и всей системы в целом. ЛФЧХ разомкнутой системы следует построить графическим методом, складывая построенные ЛФЧХ отдельных звеньев системы, так как фазовый сдвиг в системе из последовательно соединенных звеньев получается алгебраическим суммированием фазовых сдвигов отдельных звеньев.

Так, например, ЛФЧХ инерционных звеньев представляют собой кососимметричные кривые, проходящие через точку при собственной частоте данного звена. При фазовый сдвиг инерционного звена равен нулю, а при он равен . ЛФЧХ идеальных интегрирующих звеньев представляют прямую, параллельную оси частот (при всех частотах фазовый сдвиг постоянен и равен .

Построение ЛФЧХ одного из инерционных звеньев следует выполнить по расчетным точкам. Эта ЛФЧХ будет выполнять роль шаблона при построении ЛФЧХ остальных инерционных звеньев. ЛФЧХ системы строится по точкам, соответствующим фазовым сдвигам при предельных, сопрягающих и некоторых промежуточных частотах. Особое внимание следует обратить на точность построения ЛФЧХ системы в окрестности частоты, соответствующей суммарному фазовому сдвигу .

Построение логарифмических частотных характеристик следует выполнять строго в масштабе на миллиметровой бумаге, при возможности – на бумаге с полулогарифмическими координатами.

После этого следует определить устойчивость системы, критический передаточный коэффициент и запасы устойчивости САУ с помощью ЛЧХ.

При определении устойчивости с помощью ЛЧХ /12/ необходимо найти частоту среза соответствующую частоте пересечения ЛАЧХ с осью частот, и частоту , при которой фазовый сдвиг в системе равен . Если > то система неустойчивая, при < система устойчивая, при = система находится на границе устойчивости.

Критический передаточный коэффициент – это передаточный коэффициент системы, находящейся на границе устойчивости.

Определение критического передаточного коэффициента по логарифмическим частотным характеристикам выполняется через построение ЛАЧХ системы, находящейся на границе устойчивости. Передаточный коэффициент такой системы равен критическому передаточному коэффициенту . Для построения ЛАЧХ этой системы находится частота , соответствующая фазовому сдвигу и производится перенос асимптотической ЛАЧХ исходной системы параллельно оси так, чтобы новая частота среза совпадала с частотой . Тогда отрезок, характеризующий расстояние новой ЛАЧХ от оси абсцисс при частоте характеризует передаточный коэффициент системы, находящейся на границе устойчивости и, соответственно, критический передаточный коэффициент.

На графиках ЛЧХ необходимо показать графические построения, необходимые для определения критического передаточного коэффициента системы. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе, определенные по логарифмическим частотным характеристикам, следует показать на графиках ЛЧХ.

В случае, если исследуемая система неустойчива, необходимо принять произвольный передаточным коэффициент, меньший критического значения, привести для этого случая ЛАЧХ и по ней определить запасы устойчивости по фазе и амплитуде, показав их на графике.

Рекомендуемая литература: /3, 4, 7, 9, 12/.

2.8 Исследование САУ с помощью критерия Найквиста

Выполнение этой части работы следует начать с формулировки условия устойчивости по критерию Найквиста. Далее строится аналитическим методом график частотной передаточной функции разомкнутой системы на комплексной плоскости – амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).

Для построения АФЧХ необходимо воспользоваться передаточной функцией разомкнутой системы, найденной при построении ЛЧХ, и рассчитать коэффициенты характеристического уравнения (полинома знаменателя выражения для этой передаточной функции). Расчет коэффициентов следует вести с точностью до четырех значащих цифр.

После этого следует найти частотную передаточную функцию разомкнутой системы, для чего заменой оператора на частотный оператор , представить частотную передаточную функцию разомкнутой цепи системы в виде комплексного выражения с выделением действительной и мнимой части:

. (2.23)

В выражениях для действительной и мнимой части следует максимально понизить порядок выражений в числителе и знаменателе, проведя необходимые сокращения на общие множители.

Рекомендуется строить годограф методом опорных точек /12/. Для этого, анализируя выражения для действительной и мнимой частей, необходимо найти пределы и координаты точек пересечения АФЧХ с координатными осями комплексной плоскости и построить АФЧХ, соединив плавной кривой полученные точки в порядке возрастания частот.

Построение необходимо выполнять строго в масштабе с использованием миллиметровой бумаги. При построении годографа системы необходимо показать общий вид годографа (это построение можно выполнить в меньшем масштабе), а также его прохождение в окрестностях точки Найквиста и вблизи начала координат. Эти построения рекомендуется выполнить в более крупном масштабе.

Далее нужно оценить устойчивость САУ по критерию Найквиста, рассчитать критический передаточный коэффициент и запасы устойчивости с помощью АФЧХ.

Исследование устойчивости замкнутой системы с использованием частотного критерия Найквиста выполняется по виду АФЧХ разомкнутой системы. При этом используются результаты аналитического расчета точки пересечения годографа системы с отрицательной полуосью вещественной оси.

Критический передаточный коэффициент – это передаточный коэффициент системы, находящейся на границе устойчивости. Нахождение критических передаточных коэффициентов с помощью критериев устойчивости следует начинать с математической формулировки условия нахождения системы на границе устойчивости в соответствии с применяемым критерием.

Для того, чтобы определить критический передаточный коэффициент с помощью частотной передаточной функции (по критерию Найквиста),. необходимо записать выражение для модуля частотной передаточной функции разомкнутой системы

. (2.24)

Критическому передаточному коэффициенту соответствует прохождение годографа разомкнутой системы через точку Найквиста . Этому случаю соответствует выполнение условий:

(2.25)

и критический передаточный коэффициент находится из решения этой системы.

Запасы устойчивости по амплитуде и фазе, определенные по амплитудно-фазовой частотной характеристике, следует показать на графиках, построенных в соответствующих пунктах задания.

В случае, если исследуемая система неустойчива, необходимо принять произвольный передаточный коэффициент, меньший критического значения, привести для этого случая АФЧХ и по ней определить запасы устойчивости по фазе и амплитуде, показав их на соответствующем графике.

Рекомендуемая литература: /3, 4, 7, 9, 12 /.

2.9 Исследование САУ с помощью критерия Михайлова

Выполнение этой части работы следует начать с формулировки условия устойчивости по критерию Михайлова. Далее строится кривая Михайлова.

Для построения кривой Михайлова необходимо определить передаточную функцию замкнутой системы по главному задающему воздействию в операторной и частотной форме и рассчитать коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы.

Для получения выражения для передаточной функции замкнутой системы сначала рекомендуется составить выражение для передаточной функции разомкнутой цепи системы , полученное выше (см. п.2.7). Далее для каждого задающего воздействия следует записать выражение передаточной функции соответствующей прямой цепи .

Тогда передаточная функция системы по k-му задающему воздействию определится как

. (2.26)

После подстановки конкретных значений передаточных функций отдельных звеньев, входящих в каждую цепь, передаточные функции по каждому задающему воздействию следует представить в виде дроби, числитель и знаменатель которой - полиномы некоторых степеней. При этом знаменатель последнего выражения является характеристическим полиномом замкнутой системы, и характеристическое уравнение имеет вид

. (2.27)

Применительно к целям работы все дальнейшие расчеты рекомендуется выполнить только для главного задающего воздействия. Необходимо рассчитать коэффициенты характеристического уравнения (2.27). Расчет коэффициентов следует вести с точностью до четырех значащих цифр.

Далее заменой оператора на частотный оператор необходимо представить характеристический полином из левой части выражения (2.27) в виде комплексного выражения (вектора Михайлова) с выделением действительной и мнимой части:

. (2.28)

Полученное выражение позволяет построить кривую Михайлова, описываемую на комплексной плоскости вершиной вектора Михайлова при изменении частоты от 0 до ¥. При этом достаточно определить точки пересечения этой кривой с осями координат комплексной плоскости, вычислить пределы действительной и мнимой части при предельных частотах ( и ) и соединить полученные точки плавной кривой в последовательности возрастания частот.

После выполнения построения следует определить устойчивость и критический передаточный коэффициент САУ с помощью критерия Михайлова.

Критический передаточный коэффициент – это передаточный коэффициент системы, находящейся на границе устойчивости. Нахождение критических передаточных коэффициентов с помощью критериев устойчивости следует начинать с математической формулировки условия нахождения системы на границе устойчивости в соответствии с применяемым критерием.

Определение критического передаточного коэффициента с помощью критерия Михайлова выполняется через решение системы уравнений, описывающих вектор Михайлова и соответствующих его прохождению через начало координат при частоте (колебательная граница устойчивости). Поэтому условие нахождения системы управления на границе устойчивости можно сформулировать следующим образом:

(2.29)

В результате решения уравнения находится частота , при которой кривая Михайлова проходит через начало координат. Подстановкой найденного значения частоты в уравнение находится значение критического передаточного коэффициента .

Рекомендуемая литература: /3, 4, 7, 9, 12/.

2.10 Исследование устойчивости САУ с помощью алгебраических критериев устойчивости

При выполнении этого раздела необходимо исследовать САУ с помощью алгебраического критерия Гурвица.

Определение устойчивости замкнутой системы по критерию Гурвица выполняется на основании характеристического уравнения системы, представленного формулой (2.27). Следует записать главный определитель Гурвица, а также определители Гурвица меньших порядков. При расчете определителей Гурвица необходимо подставить в них значения соответствующих коэффициентов и записать итоговый результат расчета. В заключение необходимо сделать вывод об устойчивости рассматриваемой системы по критерию Гурвица.

Рекомендуемая литература: /2, 3, 4, 7, 9, 12/.

2.11 Сравнение результатов исследования САУ различными методами

В этом разделе следует сравнить полученные с помощью ЛЧХ и критериев устойчивости выводы об устойчивости САУ в целом и сделать общий вывод. Следует также сравнить полученные различными методами значения критических передаточных коэффициентов и проанализировать причины расхождения результатов.

3 Список рекомендуемой литературы

1. СТП ВятГУ 101-2004. Общие требования к оформлению текстовых документов [Текст]. – Введ. 2004-01-01. – Киров: Изд-во ВятГУ, 2004. – 28 с.

2. Теория автоматического управления [Текст]: Учеб. для вузов / Под ред. Ю.М.Соломенцева. - М.: Высш. шк.- 2000. -268 с. – (Технол., оборудование и автоматизация машиностр. пр.).

3. Воронов, А.А. Основы теории автоматического регулирования и управления [Текст]: Учеб. пособие / А.А.Воронов, В.К.Титов, Б.Н.Новогранов. - М.: Высш. шк., 1977. -519 с.

4. Егоров, К.В. Основы теории автоматического регулирования [Текст]: Учеб. пособие / К.В.Егоров.- М.: Энергия, 1967. -648 с.

5. Теория автоматического управления [Текст]: Учеб. / Под ред. А.А.Воронова. - М.: Высш. шк., 1986. - Ч.1. - 367 с.

6. Теория автоматического управления [Текст]: Учеб. / Под ред. А.А.Воронова. - М.: Высш. шк., 1986. - Ч.2. - 504 с.

7. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования [Текст] / В.А.Бесекерский, Е.П.Попов.- М.: Наука, 1975, 2003.- 768 с.

8. Солодовников, В.В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования [Текст] / В.В.Солодовников, В.Н.Плотников, А.В.Яковлев. - М.: Машиностроение, 1985. -536 с.

9. Иващенко, Н.Н. Автоматическое регулирование: Теория и элементы систем [Текст] / Н.Н.Иващенко- М.: Машиностроение, 1978. - 606 с.

10. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления [Текст] / Под ред. В.А.Бесекерского.- М.: Наука, 1978. - 512 с.

11. Задания для выполнения расчетно-графических и контрол. работ [Текст]: Дисц. «Теория автоматического управления»: Спец. 151001 - «Технология машиностроения», д/о, з/о / ВятГУ; Сост. Ю.И.Кувалдин, Куимов Е. А. – Киров, 2010. - 32 с.

12. Теория автоматического управления [Текст]: Методические указания для проведения практ. занятий. Спец. 151001 - «Технология машиностроения»
/ ВятГУ, ФАМ, каф.ТАМ; Сост. Ю.И.Кувалдин, Куимов Е. А. – Киров, 2010. - 22 с.