Полная система логических функций. Понятие о базисе

Функционально полная система представляет собой набор логических функций, с помощью которых можно записать любую, сколь угодно сложную функцию. В этом случае говорят, что этот набор образует базис.

В соответствии с принципом двойственности любое сложное устройство можно реализовать в двух базисах:

1) "И-НЕ" (базис Шеффера)

2) "ИЛИ-НЕ" (базис Пирса или функция Вебба).

Примеры реализации логических операций в базисах “И-НЕ” и “ИЛИ-НЕ”.

Реализация операции “НЕ”:

Для реализации функции И сделаем следующие преобразования:

у=х1х2 Þ у = х 1+ х 2 = х 1 х 2. Откуда видно, как И можно реализовать в обоих базисах:

1

х1х2 & х1х2

1 х 1+ х 2

&

1

Реализация операции И в базисе И-НЕ и ИЛИ-НЕ.

Реализация операции ИЛИ в базисе И-НЕ и ИЛИ-НЕ.

Пример реализации комбинационного устройства в базисе "И-НЕ". Пусть задана функция, реализуемая комбинационным устройством, в аналитической форме

F=x1 x2 +x3x4+ x1 x4

Используя закон де Моргана и с учетом закона двойного инвертирования, запишем эту функцию в виде

F= x1 x2 +x3x4+ x1 x4 = (x1 x2)(x3x4)(x1 x4)

Как следует из полученного аналитического выражения, логическое устройство должно содержать три двухвходовых и один трехвходовой элемент И-НЕ. Функциональная схема комбинационного устройства, построенная в базисе И-НЕ, показана на рисунке.