Отделение корней нелинейных уравнений

Задание 1

Пусть дано уравнение

f (x) = 0, (1)

где f (x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале [a,b].

Может понадобиться также существование и непрерывность первой и даже второй производной этой функции.

Всякое значение z, которое обращает функцию f (x) в нуль, является корнем уравнения 1.

В дальнейшем предполагается, что уравнение имеет только изолированные корни, т.е. для каждого корня существует окрестность, не содержащая других корней.

Приближенное решение нелинейных уравнений, т.е. нахождение изолированных корней состоит из двух этапов.

1. Отделение корней, т.е. установление возможно более тесных промежутков [ ], в которых содержится только один корень.

2. Уточнение корней, т.е. доведение их до заданной точности.

Теорема 1.

Если непрерывная функция f (x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [ ], то внутри этого отрезка содержится по крайней мере один корень. Т. е. найдется на этом отрезке хотя бы одно число z, при котором f (z) = 0.

Корень будет единственным, если первая производная f (x) существует и сохраняет свой знак внутри интервала [ ].

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f (x) в точках х=а и х=в. Затем определяются знаки функции в ряде промежуточных точек, выбор которых учитывает особенности функции.

Для отделения корней можно воспользоваться графическим методом его решения.

Теорема 2.

Для оценки точности полученного приближенного решения уравнения справедлива оценка

x – z | <= , (2)

где х – приближенное значение корня,

z – точное значение корня,

m₁ – наименьшее значение первой производной на отрезке [ ].