Вектори в просторі

Усі основні означення векторів у просторі залишаються такими самими,

як означення векторів на площині (див. розділ «Геометрія. 8 клас»).
Координатами вектора , де , ,

називають числа , , .
Вектори рівні тоді, й тільки тоді, коли вони мають відповідно рівні координати.

Це дає підставу позначити вектор його координатами , або просто .
.
Дії над векторами в просторі позначають так само, як і на площині:

.
Діють і геометричні правила: правило трикутника, правило паралелограма, правило многокутника.
Так само доводиться, що , а напрям вектора збігається з напрямом ,

якщо , і протилежний напряму , якщо .
Зберігається поняття колінеарних векторів і його необхідна й достатня умова.
Скалярним добутком векторів і називається число .
Має місце теорема, за якою скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних

величин і косинуса кута між векторами:
.
Для того щоб два вектори були перпендикулярними, необхідно й достатньо,

щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю.
Кожний вектор у просторі можна єдиним способом розкласти за

трьома координатними векторами , і (див. рисунок).


вектори, що паралельні одній прямій або лежать на одній прямій називаються колінеарними векторами

Умова колінеарності векторів:

Два вектора a і b колінеарні, якщо існує число n таке, що: a = n · b

Два вектора колінеарні, якщо відношення їх координат рівні.

N.B. Умову 2 неможливо застосувати, якщо один з компонентів вектора дорівнює нулю.

Два вектори колінеарні, якщо їх векторний добуток дорівнює нулевому вектору.

N.B. Умова 3 може бути застосована лише для тривимірних (просторових) задач.

Оскільки де φ - кут між векторами, то маємо умову перпендикулярності

векторів: якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю, і

навпаки: якщо скалярний добуток векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

Якщо задано координати векторів ,

то умовою перпендикулярності векторів є

Нехай дано довільну площину α, точку А (рис. 83) і пряму h, яке перетинає площину α. Проведемо

через точку А пряму, яка паралель­на h, вона перетинає площину α у деякій точці А1.

Знайдену таким способом точку А; називають паралельною проекцією точки А на площину

α у напря­мі h. Пряму h називають проектуючою пря­мою, площину α — площиною проекцій.

Щоб побудувати проекцію будь-якої фігу­ри, треба спроектувати на площину проекції кожну

точку даної фігури (рис. 84). Наведемо деякі властивості паралельного проектування.

Якщо відрізки, які проектуються, не паралельні проектуючій прямій, то при паралельному проектуванні:

1) відрізки зображаються відрізками;

2) паралельні відрізки зображаються паралельними відрізками або відрізками однієї прямої;

3) відношення довжин паралельних відрізків і відрізків однієї прямої зберігається.

___________________________________________

Пряма призма – це призма, що має перпендикулярні

до основ бічні ребра.Якщо ця умова не виконується,

то призма називається похилою.

У прямої призми всі бічні грані – прямокутники.

На зображенні прямої призми на площині бічні ребра

розміщують вертикально.Пряма призма, в основі якої

лежить правильний многокутник, називається правильною призмою.

Площа бічної поверхні прямої призми є добутком

периметра основи на висоту призми. Площа бічної поверхніпохилої

призми дорівнює добутку периметра перерізу призми площиною,

перпендикулярною бічному ребру, на довжину бічногоребрапризми.

Сума площ основ призми і бічної поверхні призми

дорівнює площі повної поверхні призми.

Паралелепіпед — це призма, основою якої є паралелограм.

Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.

Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і

діляться нею навпіл. Прямокутний паралелепіпед — паралелепіпед,

основою якого є прямокутник а бічніребраперпендикулярніосновам.

Пірамідою (n-кутною) називається многогранник, у якого одна грань є довільним

n-кутником, а інші n граней – трикутники, які мають спільну вершину. N-кутник

називається основою, а трикутники – бічними гранями. Спільна вершина бічних граней

називається вершиною піраміди. Висотою піраміди називається перпендикуляр,

проведений із вершини піраміди на площину основи.

Правильною називається піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник,

а висота піраміди співпадає з центром цього многокутника.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведеної із вершини піраміди, називається її апофемою

У правильній піраміді:

• бічні ребра рівні;
• бічні грані рівні;
• апофеми рівні;
• двогранні кути при основі рівні;
• двогранні кути при бічних ребрах рівні;
• кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх вершин основи;
• кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх бічних граней;
• кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх бічних ребер.

Діагональним перерізом піраміди називається переріз площиною, яка

проходить через два бічних ребра піраміди, що не належать одній грані.