Производная частного функций

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z (y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у (х), то функция f (x) = z (y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.
производная сложной функции:

15) Дифференцирование сложных логарефмисеких функций

Дифференцирование сложной степенной функции

16) Производная основных элементарных функций

17) Производная обратной функции
Пусть функция строго возрастает, непрерывна на интервале и имеет конечную не равную нулю производную в некоторой точке . Тогда обратная для функция также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством

(1)

или

(1’)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Как нам известно, обратная функция строго возрастает и непрерывна на интервале , где

(см. § 3.6, теорема 1’).Дадим рассматриваемому приращение . Ему соответствует приращение обратной функции, также не равное нулю в силу строгой монотонности . Поэтому

.

Если теперь , то в силу непрерывности приращение также ; но при , следовательно, существует предел

.

Этим формула (1) доказана.
П р и м е ч а н и е. Если непрерывна на , то непрерывна на .Это следует из (1), где можно положить :

.
Ведь сложная функция , состоящая из непрерывных функций и , непрерывна.

Свойства взаимно обратных функций и .
1) и
2)Из первого свойства видно, что область определения функции совпадает с областью значений функции и наоборот.
3)Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y=x.
4)Если возрастает, то и возрастает, если убывает, то и убывает.

18) Обра́тныетригонометри́ческиефу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.

Таким образом, при дифференцировании сложной обратной тригонометрической функции нужно сначала продифференцировать её как обычную обратную тригонометрическую функцию, а затем умножить на производную аргумента этой функции

19) Показательная функции: y=a^x, a>0, a(не равна 1)

x=log_ay
(а^x)'=а^хlпа
(е^х)' = е^х
a^x = (e^{ln a})^x = e^{x ln a}

20) Логарифмическое дифференцирование:
Правило логарифмического дифференцирования состоит в том, что производная функции может быть найдена как произведение самой функции на производную её натурального логарифма

Производная показательно-степенной функции:
Прием логарифмического дифференцирования очень эффективен при дифференцировании показательно-степенной функции .
Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основаниеи показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

21) Дифференциал функции:
Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется главная линейная часть её приращения y=f(x).
Дифференциал обозначается символом dy.
Формулы вычисления дифференциала:

Геометрический смысл дифференциала - приращение ординаты касательной к графику функции в точке с абсциссой Х

·
Дифференциал постоянной равен нулю:
dc = 0, с = const.

· Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых:

· d(u+v)=du + dv

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны

· d(u+c) = du (c= const).

· Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой:

· d(uv) = udv + vdu.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала

· d(cu) = cdu (с = const).

· Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой

·

· Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.

Инвариантность: Формула первого дифференциала справедлива для случая сложной функции

Несмотря на то, что дифференциал и производная функции отличаются лишь множителем dx или сеть их разная.
22) Параметрическая функция и её дифференцирование:
Пусть функция у(х) задана параметрически

Причем х(t) и y(t)- дифференцируемые в интервале [t_0;t₁] функции, и х(t) имеет обратную дифференцируемую функцию t(x). Тогда имеет место формулы для нахождения производной функции у по независимой переменной х и х по у.

Эти формулы дают возможность находить производные параметрически заданных функций, не находя выражения непосредственной зависимости у от х.

23) Гиперболи́ческиефу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.
Гиперболические функции задаются следующими формулами:

· гиперболический синус:

· гиперболический косинус:

· гиперболический тангенс:

· гиперболический котангенс:

· гиперболические секанс и косеканс:

24) Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) утверждает, что

Если вещественная функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Доказательство

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.

Теорема Лагранжа:

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что

.