Решение. Сравнение распределений по критерию Пирсона

Сравнение распределений по критерию Пирсона.

1) Используя результаты ЕГЭ сравните распределение по уровням для двух предметов своего и следующего за ним (пример, математика и история).

2) Проверьте, соответствует ли распределение по уровням для вашего предмета (истории) равномерному закону распределения.

3) Проверьте, соответствует ли распределение по уровням для вашего предмета (история) нормальному закону распределения.

Решение.

1) Вычислим теоретические частоты. Так как объемы выборок совпадают, то и совпадают теоретические частоты для математики и русского языка.

	Эмпирические		Теоретические
Уровень	Математика	История	Сумма
Минимальный	12,3	11,12	23,42
Низкий	68,56	58,52	127,08	63,54
Средний	18,06	21,35	39,41	19,705
высокий	1,08	9,01	10,09	5,045
					3,69

. Коэффициент 2 используется, т.к. было 2 выборки одинакового объема.

- это уровень значимости. Он чаще всего принимается равным 0,05 и 0,01, т.е. даем 5% на ошибку и 1 % на ошибку.

k – это число степеней свободы. Для данной задачи оно вычисляется как

(число строк – 1)*(число столбцов - 1).

Критические значения определяются по специальной таблице распределения .

Строим ось значимости:

1. Рисуем прямую линию (без указания направления оси)

2. Отмечаем на ней критические значения (слева для 0,05, справа для 0,01). Обозначаем зоны значимости.

3. Определяем направление оси.

4. Отмечаем эмпирическое значение критерия и делаем вывод в какую зону оно попадает.

Эмпирическое значение попадает в зону незначимости, т.е. распределение результатов ЕГЭ по математике и истории различаются незначимо.

2) Проверим, соответствует ли распределение результатов ЕГЭ по истории равномерному закону.

Для равномерного закона распределения характерно, что частота попадания в каждый интервал должна быть одинаковой, т.е. .

Уровень	Эмпирические частоты	Теоретические
Минимальный	11,12		7,7
Низкий	58,52		44,94
Средний	21,35		0,53
высокий	9,01		10,23
			63,4

Эмпирическое значение попадает в зону значимости, т.е. распределение результатов ЕГЭ по истории значимо отличается от равномерного.

3) Проверим, соответствует ли распределение результатов ЕГЭ по истории нормальному закону.

Для вычисления теоретических частот будем использовать результаты первичной статистической обработки, т.е. выборочное среднее и среднее квадратическое отклонение (см. 1 тема).

Уровень			Эмпирические частоты,
Минимальный			11,12
Низкий			58,52
Средний			21,35
высокий			9,01

; (см. индивидуальную работу №1)

				Нормализованные интервалы	Табличные значения (приложение 2)
Уровень			Эмпирические частоты,
Минимальный			11,12		-1,08	-0,5	-0,364	0,136
Низкий			58,52	-1,08	0.5	-0,364	0,192	0,556
Средний			21,35	0.5	1,45	0,192	0,425	0,233
высокий			9,01	1,45		0,425	0,5	0,075

; ; ;

Сравниваем эмпирические (исходные частоты) и теоретические, которые получаются

Уровень			Эмпирические частоты,	Теоретические частоты,
Минимальный			11,12	13,6	0,45
Низкий			58,52	55,6	0,15
Средний			21,35	23,3	0,16
высокий			9,01	7,5	0,3
					1,06

Эмпирическое значение попадает в зону незначимости, т.е. распределение результатов ЕГЭ по истории значимо не отличается от нормального.