Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Заметим, что в данных дифференциальных уравнениях каждая из функций зависит только от одной переменной, т.е. происходит разделение переменных.

Для решения такого дифференциального уравнения необходимо до множить или разделить обе части дифференциального уравнения на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входили только функции от и , в другую часть уравнения - только функции от и .

Затем в полученном дифференциальном уравнении надо проинтегрировать обе части: Следует заметить, что при делении обеих частей дифференциального уравнения на выражение, содержащее неизвестные и , могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в ноль.

Обратим внимание, что дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными легко сводятся к интегрированию. В общем случае получаем два неопределенных интеграла. Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу достаточно записать один раз. Почти всегда её приписывают в правой части.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решенным. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Нужно попробовать найти общее решение, то есть попытаться представить функцию в явном виде.

Если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу почти всегда целесообразно записать тоже под логарифмом.