Показатели надежности восстанавливаемых систем

(6)

Примечание: При t , когда Pj(t = ) = Pj() = Pj, средняя наработка между отказами

T₀= kг.с./ ,

где () = .

В качестве примера вычисления показателей надежности, рассмотрен восстанавливаемый объект, у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока

= = 1/ T₀,

а распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления

= 1/ T_В,

где T0 – средняя наработка между отказами;

T_В – среднее время восстановления.

P₀(t) – вероятность работоспособного состояния при t;

P₁(t) – вероятность неработоспособного состояния при t.

Система дифференциальных уравнений:

(7)

Начальные условия: при t = 0 P₀(t = 0) = P₀(0) = 1; P₁(0) = 0, поскольку состояния S₀ и S₁ представляют полную группу событий, то

Выражая P₀(t) = 1 - P₁(t), и подставляя в (7) получается одно дифференциальное уравнение относительно P₁ (t):

d P1 (t)/dt = (1 – P1 (t)) - P1 (t).

(9)

Решение уравнения (9) производится с использованием преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа для вероятностей состояния P_i(t):

т. е. P_i(S) = L{P_i(t)} – изображение вероятности P_i(t).

Преобразование Лапласа для производной dP_i(t)/dt:

После применения преобразования Лапласа к левой и правой частям уравнения, получено уравнение изображений:

(9)

где L{ } = L{1} = /S.

При P₁(0) = 0

S P₁ (S) + P₁ (S)( + ) = /S.

P₁ (S)(S + + ) = /S,

откуда изображение вероятности нахождения объекта в неработоспособном состоянии:

(10)

Разложение дроби на элементарные составляющие приводит к:

Применяя обратное преобразование Лапласа, с учетом:

L{f(t)} = 1/S, то f(t) = 1;

L{f(t)} = 1/(S + a), то f(t) = e^-at,

вероятность нахождения объекта в неработоспособном состоянии определяется:

(11)

Тогда вероятность нахождения в работоспособном состоянии P0(t) = 1 - P1(t), равна

(12)

С помощью полученных выражений можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой момент t.

Коэффициент готовности системы kг.с.. определяется при установившемся режиме t , при этом P_i(t) = P_i = const, поэтому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку

dP_i(t)/dt = 0.

Так как kг.с есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент t при t , то из полученной системы уравнений определяется P0 = kг.с.

При t алгебраические уравнения имеют вид:

(13)

Дополнительное уравнение: P0 + P₁ = 1.

Выражая P₁ = 1 - P₀, получаем 0 = P₀ - (1 - P₀), или = P₀ ( + ), откуда

(14)

Остальные показатели надежности восстанавливаемого элемента:

- функция готовности Г(t), функция простоя П(t)

Г(t) = P₀ (t); П(t) = 1 - Г(t) = P₁(t).

- параметр потока отказов (t) по (4)

(t) = P₀(t) = Г(t).

При t (стационарный установившийся режим восстановления)

(t) = () = = P0 = kг.с.

- ведущая функция потока отказов (t )

- средняя наработка между отказами (t )

t₀= kг.с./ = kг.с./ kг = 1/ .

На рис. приведено изменение вероятности нахождения объекта в работоспособном состоянии.

Рис. 1

Анализ изменения P₀(t) позволяет сделать выводы:

1) При мгновенном (автоматическом) восстановлении работоспособности ( = )

/ = 0 и P0(t) = 1.

2) При отсутствии восстановления ( = 0)

/ = и P0(t) = e^{- t},

и вероятность работоспособного состояния объекта равна ВБР невосстанавливаемого элемента.

Некоторые дополнения по применению метода дифференциальных уравнений для оценки надежности.

Метод дифференциальных уравнений может быть использован для расчета показателей надежности и невосстанавливаемых объектов (систем).

В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности выхода из этих состояний исключаются.

Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид:

Система дифференциальных уравнений:

Начальные условия: P₀ (0) = 1; P₁(0) = 0.

Изображение по Лапласу первого уравнения системы:

После группировки:

откуда

Используя обратное преобразование Лапласа, оригинал вероятности нахождения в работоспособном состоянии, т. е. ВБР к наработке t: