Определители

Опр.1 Определителем квадратной м-цы первого пор. наз. число = .

Опр2. Определителем квадратной матрицы называется

Воспользуемся методом мат-й индукции.

Пусть определен определитель (n-1)-го поря дка.

Опр.3 Минором эл-та кв. м-цы наз. опред.

м-цы, получ-й из дан-й вычерк-ем i-й стр и j-го ст-ца.

ПР.

Опр.4 Алг-м доп-м эл-та наз. чис.

ПР. .

Опр.5 Определителем м-цы пор. n наз. число, к-е ставится в соот-е кв. м-це пор. n по формуле:

, .–наз. разложением опред. по i-той строке. Аналогично м. записать разложение опред. по столбцу

ПР. = = разлож по 1-й стр.= .

ПР. = разложим по 1-й строки =

= – =.

ПР. = – 286, .

Свойства определителей. Пусть

1) ;

2) При перестановке двух рядов опред-ль меняет знак.

ПР.

3) Если м-ца А имеет два пропорциональных ряда (лин. зав.), то =0;

________________________________________________________

ПР. .

4) Общий множ-ль эл-в ряда м. выносить за знак опр.:

ПР.

5) Опр-ль, имеющий нулевой ряд равен нулю;

6) Величина опр-ля не изменится, если к эл-ам к-л ряда прибавить соот-щие эл-ты др. парал-го ряда, умноженные на число k (док. сам.).

ПР. .

7) Сумма произведений эл-ов к-л ряда опр-ля на соот-щие алг. доп. эл-ов др. парал. ряда равна нулю (док. с)

8) Пусть и – определители, различающиеся элементами только одного ряда. Тогда их сумма равна определителю, у которого указанный ряд состоит из сумм соответствующих элементов определителей и .

9) - док. приз.

ПС 2. Из св-в следует. что опр-ль удобно выч-ть, преобразовав предварительно его так, чтобы в к-л ряду получились нули (если все нули, то опр-ль =0).

ПР. =0;

Опр. 6 Кв. м-ца наз. вырожденной, если ее опр-ль =0, в противном сл. – невырожденная.

§3 Обратная матрица.

Опр.1 М-ца наз. обратной к м-це , если

.