Понятия теории вероятностей

http://math.immf.ru/lections/202.html

Случайное событие – событие, которое может произойти или может не произойти, его зарание предсказать нельзя.

Вероятность случайного события – численное значение объективной возможности случайного события.

Обозначение: Р(А), где А случайное событие.

Достоверное событие: P(A)=1

Не может произойти P(A)=0

Испытание - действие, направленное на получение (реализацию) случайного события.

Полная группа событий – когда при испытании обязательно произойдет хотя бы одно из этих событий.

Оценка вероятности события «А»:

Р(А) = m/n статистическое значение вероятности

n – общее число проведенных испытаний

m – число испытаний, где появилось событие «А».

Сложение вероятностей:

вероятность появления события «А» «ИЛИ» события «В» определяется выражением: Р(АÚВ) = Р(А) + Р(В) – Р(А) Р(В),

если события «А» и «В» не совместимы то Р(АÚВ) = Р(А) + Р(В)

Умножение вероятностей:

вероятность того, что события «А» «И» «В» произойдут одновременно определяется выражением: Р(АÙВ) = Р(А) Р(В)

Пример испытания с кубиком, имеющем 6 граней:

Р(1) + Р(2) + Р(3) + Р(4) + Р(5) + Р(6) = 1,

Р(i) = 1/6

Р(1 + 2 + 3) = Р(1) + Р(2) + Р(3) = 1/3

Часто в результате испытания происходят события, заключающиеся в том, что некоторая величина принимает одно из своих возможных значений.

В таких случаях удобно вместо множества событий рассматривать одну переменную величину, называемую случайной величиной.

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.

Пример. В студенческой группе 25 человек. Пусть величина Х – число студентов, находящихся в аудитории перед началом занятий. Ее возможными значениями будут числа 0, 1, 2,…,25. При каждом испытании (начало занятий) величина Х обязательно примет одно из своих возможных значений, т.е. наступит одно из событий Х = 0, Х = 1, …, Х = 25.

Пример. Измерение курса акции некоторого предприятия. Возможные события заключаются в том, что стоимость акции Y примет некоторое значение в пределах от 0 до ∞.

Пример. Однократное бросание игральной кости. Возможные события заключаются в том, что на верхней грани выпадает Z: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Основная характеристика случайной величины – функция распределения случайной величины.

F(x) = P(X≤x)

X – конкретное значение случайной величины, x– случайная величина.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1.
2. Функции распределения есть неубывающая функция.
3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

Р(а < X < b) = F(b) – F(а).

1. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то

F(x) = 0 при х ≤ а;

F(x) = 1 при х ≥ b.

1. НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

http://nadegnost.narod.ru/all_lections.html

А.М.Половко, С.В.Гуров Основы теории надёжности. BHV, СПб, 2006

При анализе и оценке надежности систем, в том числе и компьютерных систем, конкретные технические устройства именуются обобщенным понятием "объект". Объект - это предмет определенного целевого назначения, рассматриваемый в периоды проектирования, производства, эксплуатации, изучения, исследования и испытаний на надежность. Объектами могут быть системы и их элементы, в частности технические изделия, устройства, аппараты, приборы, их составные части, отдельные детали и т.д.

В соответствии с ГОСТ 27.002-89 "Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения" надежность трактуется как свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонта, хранения и транспортирования.

Как видно из определения, надежность является комплексным свойством, которое в зависимости от назначения объекта и условий его пребывания может включать безотказность, долговечность, ремонтопригодность и сохраняемость или определенное сочетание этих свойств.

Безотказность - свойство объекта непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени или наработки.

Долговечность - свойство объекта сохранять работоспособное состояние при установленной системе технического обслуживания и ремонта.

Ремонтопригодность - свойство объекта, заключающееся в приспособленности к поддержанию и восстановлению работоспособного состояния путем технического обслуживания и ремонта.

Сохраняемость - свойство объекта сохранять в заданных пределах значения параметров, характеризующих способность объекта выполнять требуемые функции, в течение и после хранения и (или) транспортирования.

Указанные важнейшие свойства надежности характеризуют определенные технические состояния объекта. Различают пять основных видов технического состояния объектов.

Исправное состояние. Состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации.

Неисправное состояние. Состояние объекта, при котором он не соответствует хотя бы одному из требований нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации.

Работоспособное состояние. Состояние объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации.

Неработоспособное состояние. Состояние объекта, при котором значения хотя бы одного параметра, характеризующего способность выполнять заданные функции, не соответствует требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации.

Предельное состояние. Состояние объекта, при котором его дальнейшая эксплуатация недопустима или нецелесообразна, либо восстановление его работоспособного состояния невозможно или нецелесообразно.

Переход объекта (изделия) из одного вышестоящего технического состояния в нижестоящее обычно происходит вследствие событий: повреждений или отказов. Совокупность фактических состояний объекта, к примеру, электроустановки, и возникающих событий, способствующих переходу в новое состояние, охватывает так называемый жизненный цикл объекта, который протекает во времени и имеет определенные закономерности, изучаемые в теории надежности.

Отказ - Согласно ГОСТ 27.002-89 это событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта.

Повреждение - событие, заключающееся в нарушении исправного состояния объекта при сохранении работоспособного состояния.

Переход объекта из исправного состояния в неисправное не связан с отказом.

Виды отказов:

• Внезапный отказ – скачкообразное изменение параметров.
• Постепенный отказ – постепенное изменение параметров.
• Независимый отказ – независим от отказов других элементов.
• Зависимый отказ – зависит от других отказов.
• Полный(окончательный) отказ – устраняется только ремонтом.
• Сбой – самоустраняющийся отказ.

В ГОСТ 15467-79 введено еще одно понятие, отражающее состояние объекта - дефект. Дефектом называется каждое отдельное несоответствие объекта установленным нормам или требованиям. Дефект отражает состояние отличное от отказа. В соответствии с определением отказа, как события, заключающегося в нарушении работоспособности, предполагается, что до появления отказа объект был работоспособен. Отказ может быть следствием развития неустраненных повреждений или наличия дефектов: царапин; потертости изоляции; небольших деформаций.

В теории надежности, как правило, предполагается внезапный отказ, который характеризуется скачкообразным изменением значений одного или нескольких параметров объекта. На практике приходится анализировать и другие отказы, к примеру, ресурсный отказ, в результате которого объект приобретает предельное состояние, или эксплуатационный отказ, возникающий по причине, связанной с нарушением установленных правил или условий эксплуатации.

При расчетах и анализе надежности широко используются термины "элемент" и "система". Под элементом понимается часть сложного объекта, которая имеет самостоятельную характеристику надежности, используемую при расчетах и выполняющую определенную частную функцию в интересах сложного объекта, который по отношению к элементу представляет собой систему.

Например, жёсткий диск (HD) в компьютере выполняет роль элемента, а компьютер - это система. В зависимости от уровня решаемой задачи и степени объединения анализируемых аппаратов и устройств определенный объект может в одном случае быть системой, а в другом - элементом.

Так при анализе надежности компьютера его можно "разложить" на множество элементов: блок питания, материнская плата, процессор, память, жёсткий диск и т.д.

С другой стороны, для локальной вычислительной сети (ЛВС) компьютер удобнее представить как элемент, у которого есть свои характеристики надежности, нормативно-техническая документация, требования к эксплуатации.

Типы систем:

1) Простая – имеет два состояния: рабочее и отказ.

2) Сложная – имеет множество состояний: работа, отказ, восстановление, профилактика.

3) Не восстанавливаемая – не подлежит восстановлению после отказа.

4) Восстанавливаемаяя – возможно восстановление после отказа.

5) Не избыточная – при отказе одного элемента – отказ системы.

6) Избыточная – при отказе некоторого количества элементов - система работоспособна.