Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Z₁×Z₂ = (2 – 3 ×i)×(–7 + 8 ×i) = –14 + 16 ×i + 21 ×i + 24 = 10 + 37 ×i

2 Способ:

 

ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Вычитание комплексных чисел – это операция, обратная сложению: для любых комплексных чиселZ₁ и Z₂ существует, и притом только одно, число Z, такое, что:

Z + Z₂=Z₁

Если к обеим частям равенства прибавить (–Z₂) противоположное числу Z₂:

Z+Z₂+(–Z₂)=Z₁+(–Z₂), откуда

Z = Z₁ – Z₂

Число Z=Z₁+Z₂ называют разностью чисел Z₁ и Z₂.

Деление вводится как операция, обратная умножению:

Z×Z₂=Z₁

Разделив обе части на Z₂ получим:

Z=

Из этого уравнения видно, что Z₂ 0

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Разности Z₂ – Z₁ комплексных чисел Z₁ и Z₂, соответствует разность векторов, соответствующих числам Z₁ и Z₂. Модуль разности двух комплексных чиселZ₂ и Z₁ по определению модуля есть длина вектора Z₂ – Z₁. Построим этот вектор, как сумму векторов Z₂ и (–Z₁). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.

Это важное геометрическое истолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет с успехом использовать простые геометрические факты.

Пример: Даны комплексные числа Z₁= 4 + 5 · i и Z₂= 3 + 4 · i. Найти разность Z₂ – Z₁ и частное

Z₂ – Z₁ = (3 + 4· i) – (4 + 5· i) = –1 – i

= =

КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ С КОМПЛЕКСНЫМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим уравнение Z² = a, где a – заданное действительное число, Z – неизвестное.

Это уравнение:

имеет один корень, если a = 0.

имеет два действительных корня Z_1,2 = , если a > 0.

не имеет действительных корней, если a < 0. Но имеет два комплексных корня.

Запишем число a в виде a = (– 1)×(– a) = i ²× = i ²×()². Тогда уравнение Z² = a запишется в виде:Z² – i ²×()² = 0

т.е. (Z – i × )(Z + i × ) = 0

Следовательно, уравнение имеет два корня: Z_1,2 = i ×

Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами

a×Z² + b×Z + c = 0

По общей формуле Z_1,2=

Итак, при любых действительных a(a 0), b, c корни уравнения можно находить по формуле 10. При это если дискриминант, т.е. подкоренное выражение в формуле 10

D = b² – 4×a×c

положителен, то уравнение a×Z² + b×Z + c = 0 два действительных различных корня. Если D = 0, то уравнение a×Z² + b×Z + c = 0 имеет один корень. Если D < 0, то уравнение a×Z² + b×Z + c = 0 имеет два различных комплексных корня.

Комплексные корни квадратного уравнения обладают такими же свойствами, как и известные нам свойства действительных корней.

Сформулируем основные из них:

Пусть Z₁,Z₂ – корни квадратного уравнения a×Z² + b×Z + c = 0, a 0. Тогда справедливы свойства:

Теорема Виета: Z₁ + Z₂ = –

Z₁×Z₂ =

При всех комплексных Z справедлива формула

a×Z² + b×Z + c = a×(Z – Z₁)×(Z – Z₂)

Пример 1:

Z² – 6·Z + 10 = 0

Д = b² – 4·a·c

Д = 6² – 4·10 = – 4

– 4 = i ² ·4

Z_1,2 =

Z_1,2 =

Ответ: Z₁ = Z₂ = 3 + i