Теорема про зміну кінетичної енергії

М еханічною енергією називають енергію переміщення і взаємодії тіл. Механічну енергію поділяють на кінетичну і потенціальну.

Кінетичною енергією, або енергією руху, називають енергію,яку має будь-яка матеріальна точка під час руху. Кінетична енергія — це динамічна міра руху матеріальної точки.

Кінетична енергія матеріальної точка дорівнює половині добутку маси точки на квадрат її швидкості:

К = m*V²/2.

Кінетична енергія — величина скалярна і завжди додатна.

Одиниці кінетичної енергії:

[K] = [m*V²] = [m] • [V²] = кг • м²/c² = (кг • м/с²) • м = Н * • м = Дж.

Кінетична енергія має розмірність роботи. Зв'язок між кінетичною енегією і роботою встановлює теорема про зміну кінетичної енергії, яка формулюється

так: зміна кінетичної енергії матеріальної точки на якомусь відрізку шляху дорівнює

роботі сили, прикладеної до точки на то-

му самому відрізку шляху.

Доведемо що теорему для найзагальні-

Рис 16.2 шого випадку руху матеріальної точки,тобто для випадку криволінійного руху під

дією змінної сили (рис. 16.2). Запишемо для цієї точки основне рівняння динаміки:

m*а = Р,

де Р — сила, яка діє на точку; а — повне прискорення точки; m — маса точки. Спроектуємо цю векторну рівність на напрям швидкості V точки:

m*а соs α = Р, = Р соs α.

Як відомо з кінематики,

а соs α = а, =* -^-,

тому

m* dv/dt = P*cosα.

Помноживши обидві частини рівності на нескінченно мале переміщення ds, дістанемо

m* dv/dt * ds P*cosα*ds..

Ліву частину рівності перетворимо так:

ТОДІ

m* dv/dt * ds = =m*dv * *ds/dt = =m*V*dv

m*V*dv = P*cosα*ds.

Проінтегруємо обидві частини цієї рівності в межах для швидкості від Vo до V і для шляху від 0 до S:

m* ∫V*dv = ∫Pcosα*ds,.

тоді

m*V²/2 – m*Vo²/2 = A,

де А — робота сили Р на шляху S. Теорему доведено.

Для сповільненого руху (V < Vo) складова Рt, яка спричинює дотичне прискорення at, матиме напрям, протилежний до вектора швидкості V, і тому робота сили Р буде від'ємною. Складова Рn, яка спричинює нормальне прискорення аn, роботи не виконує, оскільки ця скла-

дова в кожний момент перпендикулярна до елементарного переміщення точки прикладання сили Р. Якщо до матеріальної точки прикладено кілька сил, то зміна кінетичної енергії дорівнюватиме алгебраїчній сумі

робіт цих сил:

m*V²/2— m*Vo²/2 =∑Api,

Приклад 16.2. Основною частиною приладу для випробування матеріалів ударом є важкий сталений виливок М, прикріплений до стержня, який може обертатися навколо

нерухомої горизонтальної осі 0 майже без тертя (рис. 16.3), Нехтуючи масу стержня, розглядаемо виливок М як матеріальну точку, для якої відстань МО = 0,981 м. Визначити

швидкість V цієї точки в найнижчомуположенні B, якщо точка падає з найвищого положеннн А з дуже малою початковою швидкістю.

Розв'язання. Позначимо силу тяжіння виливка G. Застосувавши принцип звільнюваності і теорему про зміну кінетичної енергії і прийнявши виливок як матеріальиу точку, на яку діють сила тяжіння G і реакція N стержня, напрямлена вздовж стержня, дістанемо:

m*V²/2 - mVo²/2 = Ag + An

Відповідно до теореми про роботу сили тяжіння

Ag = G*AB = G*2*MO.

Робота реакції N дорівнює нулю, оскільки момент цієї сили відносно осі обертання стержня дорівнює нулю. Силу тертя, за умовою, не враховуємо. Підставимо цей вираз роботи в першу формулу, враховуючи, що Vo = 0:

G*V²/2g = G • 2М0.

Тепер скоротимо обидві частини рівності на G і підставимо числові значення:

V = √2*MO*2g = 2 √0,931 • 9,81 = 6,2 м/с.

Приклад 16.3. По рейках, прокладених на шляху АB, що утворюють далі петлю

радіуса R, котиться вагонетка М силою тяжіння G (рис. 16.4). З якої висоти H треба пус-

тити вагонетку без початкової швидкості, щоб вона могла пройти всю петлю?

Р о з в ' я з а н н я. Розглянемо вагонетку як матеріальну точку і застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії на шляху АВС, тоді

m*V²/2 – m*Vo²/2 = Ag + An,

А

причому робота An, нормальної реакції N рейок дорівнює нулю. Відповідно до теореми про роботу сили тяжіння

Ag = G(H – 2R),

Оскільки за умовою Vo = 0, а m = G/g, то, підставивши ці вирази в першу формулу,дістанемо

G8V²/2g = (H – 2R) G,

звідки

V² = 2g(H – 2R). (16.1)

Тепер застосуємо припини д'Аламбера. Прикладемо до вагонетки відцентрову силу інерції Fin = G/g * V²/R, спроектуємо сили, які діють на вагонетку, на вісь у і складемо рівняння рівноваги:

∑У = 0; Fin – G – N = 0,

де N — реакцїя рейок. Очевидно, що найменше значення відцентрової сили Fin, за якого вагонетка не відриватиметься від рейок, буде за умови N = 0. При цьому

Fin – G = 0 або (G/G)*(V²/R) = G.

Звідси

V² = gR. (16.2)

Порівняємо вирази (16.1} і (16.2), тоді

2g(H – 2R) = g*R

звідки H = 2.5R

Очевидно, що значення висоти H, знайдене з цього виразу, буде мінімальним. Треба звернути увагу на те, що тут не брались до уваги сили терти і опору повітря. Отже, вагонетка зробить мертву петлю, коли

Н > 2.5R