Введение понятия комплексного числа. Представление комплексного числа на плоскости

Комплексные числа являются расширением множества действительных чисел. В результате расширения множества действительных чисел было введено понятие мнимой единицы , которая существует на множестве комплексных чисел, но не существует на множестве действительных. Мнимая единица удовлетворяет равенству:

.

(1)

В литературе часто мнимую единицу обозначают через . Тогда комплексное число можно представить в виде:

,

(2)

где носит название действительной части или реальной части и обозначается , а носит название мнимой части и обозначается как . Графически все множество действительных чисел можно представить на бесконечной числовой прямой, при этом комплексные числа можно трактовать как расширение числовой прямой до комплексной плоскости, а каждое комплексное число можно представить как точку на комплексной плоскости (смотри рисунок 1). При этом все множество действительных чисел будет представляться прямой на комплексной плоскости.

Рисунок 1: Представление комплексного числа на плоскости

Комплексная плоскость делится прямыми реальной части (прямой действительных чисел) и прямой мнимых чисел на четыре четверти. Любое комплексное число ,будет представляться точкой на комплексной плоскости с координатами и . Если число не содержит мнимой части, то оно действительное и находится на прямой , а если число не содержит реальной части, то оно называется чисто мнимым и находится на оси .