Теорема Коши

Пусть f(x) и g(x) удовлетворяют трем условиям:

1)f(x)и g(x)непрерывны на (a;b),

2) f(x)и g(x) дифференцируема на (a;b),

3) ,

То найдётся точка :

Доказательство:

Заметим, что g(a) , так как если бы g(a)=g(b), то по теореме Роля - это неверно по условию 3 пункта определения. Рассмотрим |

F(x) удовлетворяет теореме Роля. Поэтому для

, подставим :

12) Правило Лопиталя для неопределённости вида 0/0

Пусть f(x)и g(x)удовлетворяет 3 условиям:

1)функция f(x), g(x)определены и дифференцируемы в некоторой ů(∙)Xo

2)

3)

4)

Тогда существует

Доказательство:

Пусть и

1) Пусть

Для :

· f(x) и непрерывны в точке . Тогда по условию (2)

· если и имеет разрыв в точке , тогда - точка разрыва 1 рода.

Доопределим и

2) Пусть . Рассмотрим f(x) и g(x) на . удовлетворяют условиям теоремы Коши:

Рассмотрим , при

Формула Тейлора (Маклорена) с остаточным членом в форме Пеано.

Если y=f(x) определена и n-раз дифференцируема в