Теорема о дифференцируемости произведения двух функций. Теорема о производной произведения двух функций

Теорема о соотношении классов непрерывных и дифференцируемых в данной точке функций

Если функция имеет производную то непрерывна в точке

Доказательство: пусть

По определению (по теореме о роли бесконечно малой в теории пределов)= )

= ) непрерывна в точке

Теорема о дифференцируемости произведения двух функций. Теорема о производной произведения двух функций

Производная от произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную второй:

Если y=uv то y’=u’v+uv’.

Доказательство: для значения аргумента x+ получим

Y=uv,

Y+ ,

,

,

Т.к u и v не зависят от

Рассмотрим последний член в правой части

Так как u(x) – дифференцируемая функция, то она непрерывна. Следовательно

Кроме того

Таким образом рассматриваемый член равен нулю и мы окончательно получаем