Введение. Рассмотрим неизменяемую систему материальных точек (абсолютно твердое тело)

Рассмотрим неизменяемую систему материальных точек (абсолютно твердое тело). Центром масс или центром инерции системы материальных точек называется такая воображаемая точка , радиус вектор которой выражается через радиус-векторы материальных точек по формуле

. (1)

Мерой инерции такой системы при поступательном движении является общая масса всей системы . Мерой инерции системы при вращательном движении служит величина

, (2)

которая называется моментом инерции. Эта величина зависит от расположения частей тела относительно оси вращения.

Пусть – момент инерции системы относительно оси, проходящей через центр масс . Найдем – момент инерции системы относительно параллельной оси, проходящей через точку (оси перпендикулярны плоскости рис. 1). Обозначим через – расстояние между осями. Тогда

.

Первое слагаемое представляет собой момент инерции относительно прежней оси, проходящей через точку , во втором слагаемом сумма равна нулю, т.к. прежняя ось проходи через центр масс и , сумма в третьем слагаемом равна массе всей системы . Получаем

(3)

– математическую формулировку теоремы Гюйгенса–Штейнера: момент инерции системы материальных точек (тела) относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции, сложенному с величиной , где – расстояние между осями, а – масса всей системы.

Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла

, (4)

в котором – это расстояние от оси вращения до элемента массы .

При вычислении моментов инерции однородных тел простой формы относительно оси симметрии, проходящей через центр масс получается результат, который может быть представлен в виде:

,

где – коэффициент пропорциональности, зависящий от формы тела и выбора оси, – масса тела, – характерный размер тела (радиус, ширина, длина и т.д.) или характерное расстояние от части тела до оси. Например, для однородного диска или цилиндра – , для кольца , для однородного шара , где – радиус тела.