Загальна характеристика роботи

ВАКАРЧУК

Святослав Іванович

УДК 530.145.61

СУПЕРСИМЕТРІЯ ЕЛЕКТРОНА В МАГНІТНОМУ ПОЛІ

01.04.02 — теоретична фізика

Автореферат

Дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЛЬВІВ — 2009

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано на кафедрі теоретичної фізики Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор
Ткачук Володимир Михайлович,
кафедра теоретичної фізики Львівського національного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук

Ситенко Юрій Олексійович, завідувач відділу теорії ядра і квантової теорії поля Інституту теоретичної фізики імені М. М. Боголюбова НАН України;

доктор фізико-математичних наук

Держко Олег Володимирович, завідувач відділу модельних спінових систем Інституту фізики конденсованих систем НАН України.

Захист відбудеться “ 17 ” червня 2009 р. о 15³⁰ годині на засіданні спеціалізованої Вченої ради Д 35.156.01 при Інституті фізики конденсованих систем НАН України за адресою: 79011, м. Львів, вул. Свєнціцького, 1.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту фізики конден­сованих систем НАН України за адресою: 79026, м. Львів, вул. Козельницька, 4.

Автореферат розіслано “ 15 ” травня 2009 р.

Вчений секретар cпеціалізованої

Вченої ради Д 35.156.01

кандидат фіз.-мат. наук Т. Є. Крохмальський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Рух електрона в магнітному полі завжди був предметом наукового інтересу. Вперше задачу про рух електрона в однорідному постійному магнітному полі розв’язав ще Ландау на початках становлення квантової механіки, знайшовши точні вирази для власних значень та власних функцій. Пізніше було знайдено багато електромагнітних полів, для яких задача знаходження власних значень та власних функцій розв’язується точно. Але й зараз залишається багато нерозв’язаних задач. Наприклад, навіть для однієї з найпростіших конфігурацій магнітного поля, а саме поля прямого дроту зі струмом, неможливо одержати точні розв’язки відповідної задачі про власні значення. Енергетичний спектр та хвильові функції цієї задачі були досліджені чисельним методом.

У 70-х роках минулого століття Віттен запропонував суперсиметричну квантову механіку як інструмент для вивчення основних властивостей квантових моделей. Пізніше виявилося, що суперсиметрична квантова механіка є цікавою сама по собі. Одним із прикладів, де суперсиметрія реалізується як фізична симетрія системи, є рух електрона в магнітному полі.

Було показано, що в довільному двовимірному полі та у парному і непарному тривимірних полях реалізується N = 2-суперсиметрія. Зауважимо, що суперсиметрія в магнітному полі існує тільки тоді, коли g -фактор рівний 2. Наявність суперсиметрії з двома суперзарядами призводить до двократного виродження всіх енергетичних рівнів, крім основного у вказаних неоднорідних полях, що узагальнює результат Ландау в однорідному полі. Суперсиметрія була знайдена як для рівняння Паулі, так і для релятивістського рівняння Дірака. Зауважимо, що клас полів, у яких реалізуються суперсиметрії, був досить вузький. Пошук нових суперсиметричних квантових систем залишається актуальною задачею до цього часу. З цієї точки зору важливим є рівняння Паулі з масою, залежною від координат, в якому присутня суперсиметрія. Такі задачі виникають, наприклад, при розрахунку фізичних характеристик наногетероструктур.

У рамках суперсиметричних систем актуальною є задача про основний стан. Розв’язок цієї задачі дає можливість відповісти на питання про те, точною чи порушеною є суперсиметрія. Ще однією важливою задачею є знаходження магнітних полів, для яких рівняння Паулі квазі-точно розв’язуване.

Зв’язок суперсиметрії зі сплутаністю квантових станів є маловивченою областю квантової інформатики, яка зараз активно розвивається, і такі дослідження є актуальними.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка згідно держбюджетної теми Фф-38Б “Квантова теорія конденсованих систем з різними типами невпорядкованості” (номер держреєстрації № 0100U001446).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є дослідження суперсиметрії в магнітних полях у рамках гамільтоніану Паулі та Дірака і застосування властивостей суперсиметрії для знаходження енергетичних рівнів електрона в цих полях. Важливе місце займає дослідження основного стану електрона в магнітних полях. Однією з задач було вивчення рівняння Паулі з масою, залежною від координат, в рамках суперсиметричного підходу, а також знаходження основного стану електрона в магнітних полях різних конфігурацій. Було приділено увагу знаходженню магнітних полів, для яких двовимірне рівняння Паулі стає квазі-точно розв’язуваним. Зв’язок суперсиметрії зі сплутаністю квантових станів був також метою досліджень роботи.

Об’єктом досліджень є електрон у магнітних полях. Предметом досліджень є суперсиметрія гамільтоніану Паулі та Дірака. Методом дослідження виступає факторизація від повідних диференціальних рівнянь, що дає можливість понизити їхній порядок.

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі вперше знайдено приклади нових тривимірних магнітних полів, в яких рух електрона, що описується рівнянням Паулі, володіє N = 2,3,4-суперсиметрією. Вперше поширено ці результати на релятивістський випадок, що описується рівнянням Дірака. Побудовано розширену алгебру суперсиметрії, що реалізується при русі електрона у знайдених нами магнітних полях.

Досліджено основний стан електрона у дво- і тривимірних полях. Вперше отримано енергію та хвильову функцію основного стану електрона в магнітному полі прямих струмів та показано, що в цьому випадку суперсиметрія є порушеною. Знайдено асимптотичну поведінку енергії основного стану електрона в магнітному полі прямого струму при малих значеннях повного орбітального моменту. Розглянуто рівняння Паулі з масою, залежною від координат, та вперше узагальнено на цей випадок теорему Ааронова–Кашера про зв’язок кількості зв’язаних станів з величиною магнітного потоку.

Вперше застосовано метод суперсиметрії для побудови квазі-точно розв’язуваних задач із двома відомими енергетичними рівнями до рівняння Паулі. Знайдено квазі-точно розв’язувані аксіально-симетричні магнітні поля, при русі електрона в яких є точно відомі два енергетичні рівні та відповідні хвильові функції.

Вперше показано, що із суперсиметрією гамільтоніана Паулі пов’язана сплутаність спінових та координатних станів. Квадрат міри сплутаності (узгодженості) дорівнює сумі квадратів середніх значень суперзарядів, розділеній на енергію електрона. Власні стани суперзарядів є максимально сплутаними.

Виявлена суперсиметрія при русі електрона в магнітному полі може бути корисна при дослідженні виродження енергетичних рівнів електрона. Результати, отримані при дослідженні рівняння Паулі з масою, залежною від координат, можуть бути використані при експериментальному та теоретичному вивченні руху електрона в наногетероструктурах. Зв’язок суперсиметрії зі сплутаністю спінових та координатних станів електрона в магнітному полі може бути корисним при генеруванні цих станів у відповідних експериментах.

Практичне значення отриманих результатів. Проведені в дисертації дослідження властивостей суперсиметрії в магнітних полях сприяють як отриманню нових результатів, так і глибшому розумінню вже отриманих раніше результатів іншими методами. Зокрема, існування N = 2, 3, 4 суперсиметрії приводить до відповідного виродження ненульових енергетичних рівнів. Цей факт має важливе значення для експериментальних та теоретичних досліджень руху електрона в магнітному полі.

Існування порушеної суперсиметрії, про яке йде мова у розділі IV, зв’язане зі стабільністю одноелектронного атома з високим ядерним зарядом в такому магнітному полі.

Отримане рівняння на власні значення електрона в полі прямого струму дозволяє точно дослідити поведінку енергетичних рівнів електрона при малих значеннях повного моменту.

Результати, отримані при дослідженні рівняння Паулі з масою, залежною від координат, можуть бути використані при експериментальному та теоретичному вивченні руху електрона в наногетероструктурах.

Зв’язок суперсиметрії зі сплутаністю спінових та координатних станів електрона в магнітному полі може бути корисним при генеруванні цих станів у відповідних експериментах.

Особистий внесок здобувача. Постановку задач дослідження здійснив науковий керівник професор В. М. Ткачук. Всі викладені в дисертації оригінальні результати отримано автором самостійно або при його безпосередній участі. У роботах, виконаних із науковим керівником, здобувачу належить:

— знаходження прикладів нових тривимірних магнітних полів, у яких рух електрона володіє суперсиметрією;

— розрахунок індексів Віттена для суперсиметричних систем;

— розрахунок енергії основного стану електрона в магнітному полі прямого струму;

— узагальнення теореми Ааронова–Кашера при русі електрона з ефективною масою, залежною від координат, в магнітному полі;

— розрахунок міри сплутаності (узгодженості) спінових та координатних змінних електрона в однорідному магнітному полі та її зв’язок із суперсиметрією задачі.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, включені до дисертації, були представлені на таких конференціях і семінарах:

— Науковий семінар зі статистичної теорії конденсованих систем (Львів, 1997 р.);

— Міжнародна конференція студентів-фізиків (Відень, 1997 р.);

— ІНТАС-Україна: робоча нарада з фізики конденсованої речовини (Львів, 1998 р.);

— Математична фізика 2000: наукова конференція (Лондон, 2000 р.);

— Робоча нарада із сучасних проблем теорії рідин (Львів, 2000 р.);

— IV Міжнародна наукова конференція “Фізика невпорядкованих систем” (Львів,

2008 р.).

Результати роботи також неодноразово обговорювалися на семінарах кафедри теоретичної фізики у Львівському національному університеті імені Івана Франка.

Публікації. Результати дисертаційної роботи опубліковано у вісьмох журнальних статтях [1–8] та п’яти тезах доповідей на конференціях [9–13].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п’яти розділів, висновків та списку використаних джерел. Обсяг дисертації становить 143 сторінки, включно зі списком використаних джерел, що містить 136 найменувань. Результати роботи проілюстровано одним рисунком.