Закон сохранения момента импульса

Моментом импульса материальной точки (частицы) относительно точки О называется векторная величина

(12)

где r - радиус-вектор, определяющий положение частицы относительно точки О, а p=mV - импульс частицы. Модуль этой величины, равный rpsina, можно представить в виде произведения плеча импульса на модуль вектора p:

L= p.

Плечом импульса называется длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой направлен импульс частицы.

Частица обладает моментом импульса, независимо от формы траектории, по которой она движется. Рассмотрим два частных случая.

1. Частица движется вдоль прямолинейной траектории (рис.2). Модуль момента импульса L=mV может изменяться только за счет изменения модуля скорости.

Рис.2 Рис.3

2. Частица движется по окружности радиуса r (рис.3). Модуль момента импульса относительно центра окружности равен

L=mVr

и так же, как в предыдущем случае, может изменяться только за счет изменения модуля скорости. Несмотря на непрерывное изменение направления вектора p, направление вектора L остается постоянным.

Проекция вектора L на произвольную ось z, проходящую через точку О, называется моментом импульса частицы относительно этой оси: . Псевдовектор M= [rF]. Называется моментом силы F относительно точки О, из которой проводится радиус-вектор r точки приложения силы. Модуль момента силы можно представить в виде

M=rFsina= F,

где =sina - плечо силы относительно точки О (т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила).

Проекция вектора M на некоторую ось z, проходящую через точку О, относительно которой определен M, называется моментом силы относительно этой оси: . Силы взаимодействия между частицами действуют в противоположные стороны вдоль одной и той же прямой. Их моменты относительно произвольной точки О равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц, в частности для твердого тела, всегда равна нулю:

(13)

Выясним, от чего зависит изменение момента импульса частицы. С этой целью продифференцируем выражение (12) по времени:

.

Согласно второму закону Ньютона - результирующей сил, действующих на частицу; по определению . Поэтому можно написать, что

Второе слагаемое является векторным произведением коллинеарных векторов и поэтому равно нулю. Первое слагаемое представляет собой момент силы F относительно той же точки, относительно которой взят момент импульса L.

Следовательно, мы приходим к соотношению

, (14)

согласно которому скорость изменения момента импульса со временем равна суммарному моменту сил, действующих на частицу.