Закон сохранения импульса

Рассмотрим систему, состоящую из N частиц (материальных точек). Обозначим через Fik силу, с которой k-я частица действует на i-ю (первый индекс указывает номер частицы, на которую действует сила, второй индекс - номер частицы, воздействием которой обусловлена эта сила). Символом Fi обозначим результирующую всех внешних сил, действующих на i-ю частицу. Напишем уравнения движения всех N частиц:

=F12 + F13 +. + F1k +. + F1N + F1= ,

=F21 + F23 +. + F2k +. + F2N + F2= ,

=Fi1 + Fi2 +. + Fik +. + FiN + Fi = ,

=FN1 + FN2 +. + FNK +. +FN,N-1 + FN =

(pi - импульс i-й частицы).

Сложим вместе эти уравнения. Слева получиться производная по времени от суммарного импульса системы:

.

Справа отличной от нуля будет только сумма внешних сил Fi. Действительно, сумму внутренних сил можно представить в виде

(F12+F21) + (F13 + F31) +. + (Fik + Fki) +. + (FN-1,N + FN,N-1).

Согласно третьему закону Ньютона каждая из скобок равно нулю. Следовательно, сумма внутренних сил, действующих на тела системы, всегда равна нулю:

.

С учетом этого получим, что

. (1)

Таким образом, производная по времени от суммарного импульса системы равнасумме внешних сил, действующих на тела системы.

Если система замкнута, внешние силы отсутствуют и правая часть уравнения (1) равна нулю. Соответственно dp/dt=0 и, следовательно, p=const.

Итак, мы пришли к выводу, что суммарный импульс замкнутой системыматериальных точек остается постоянным. Это утверждение составляет содержание закона сохранения импульса.

В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства, т.е. одинаковость свойств пространства во всех точках. Параллельный перенос замкнутой системы из одного места в другое без изменения взаимного расположения и скоростей частиц не изменяет механических свойств системы. Поведение системы на новом месте будет таким же, каким оно было бы на прежнем месте.

Заметим, что согласно формуле (1) импульс остается постоянным и у незамкнутой системы в том случае, если сумма всех внешних сил равна нулю.

Спроектировав все векторы, фигурирующие в уравнении (1), на некоторое направление x, получим

(2)

(; отсюда следует, что проекция на ось x вектора p равна dpx/dt). Согласно (2) для того, чтобы сохранялась проекция суммарного импульса на некоторое направление, достаточно равенства нулю проекции на это направление суммы внешних сил; сама эта сумма может быть отличной от нуля.

Точка С, положение которой определяется радиус-вектором

называется центром масс системы материальных точек. Здесь mi - масса i-й частицы, ri - радиус-вектор, задающий положение этой частицы, m - суммарная масса системы. Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы.

Спроектировав rc на координатные оси, получим декартовы координаты центра масс:

, , .

Продифференцировав rc по времени, найдем скорость центра масс:

(3)

Согласно (3) суммарный импульс системы можно представить в виде произведения массы системы на скорость центра масс:

p=mVc

Подставив это выражение в формулу (1), получим уравнение движения центра масс:

(ас - ускорение центра масс). Таким образом, центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой равной массе системы, под действием результирующих всех внешних сил, приложенных к телам системы. Для замкнутой системы ас=0. Это означает, что центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно, либо покоится.

Система отсчета, относительно которой центр масс покоится, называется системой центра масс (сокращенно ц-системой). Эта система иннерциальна. Система отсчета, связанная с измерительными приборами, называется лабораторнойсистемой (сокращенно л-системой).