Анализ методов решений ОДУ

Существует большое количество методов решения ОДУ. Одними из наиболее распространенных методов являются методы Рунге-Кутта, Эйлера-Коши и разностные методы.

1) Методы Рунге-Кутта:

Формулы этого метода предназначены для интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка вида

(11)

с начальными условиями

(12)

Существуют формулы Рунге - Кутта, предназначенные для интегрирования дифференциального уравнения второго и третьего порядков, но они очень громоздки и на практике используются очень редко.

Методы Рунге-Кутта обладают следующими отличительными свойствами:

1 Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка , где степень р различна для различных методов и называется порядком метода.

2 Эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти , нужна информация только о предыдущей точке , .

3 Они не требуют вычисления производных от f (x, y), а требуют только вычисления самой функции.

Именно благодаря третьему свойству методы Рунге-Кутта более удобны для практических вычислений. Однако для вычисления одной последующей точки решения приходится вычислять функцию f (x, y) несколько раз при различных значениях х и у. Этот метод требует большой квалификации и времени на отладки

Итерационные методы Эйлера-Коши:

Итерационные методы Эйлера-Коши применимы для интегрирования дифференциальных уравнений любого порядка.

Если имеем дифференциальное уравнение (13)

, (13)

с начальными условиями (14):

, (14)

то формула для интегрирования получается из следующих соображений.

Находят значения функции в виде трех членов разложения ряда Тейлора:

(15)

Затем вторая производная представляется в виде разностного выражения:

, (16)

Подставив выражения (16) уравнение (15), получим:

(17)

В выражении (17) значение неизвестно, поэтому, чтобы воспользоваться формулой (17), строятся итерационный процесс.

Таким образом, циклическая процедура вычислений по формуле (17) представляет итерационный метод Эйлера-Коши для дифференциального уравнения первого порядка типа (11).

Применение в программе ЭВМ таких, логических переходов позволяет вести вычисления с автоматическим выбором шага интегрирования h в зависимости от заданной точности.

Разностные методы интегрирования ОДУ:

Эти методы основаны на замене производной в дифференциальных уравнениях их приближенными разностными аналогами.

В итоге система дифференциальных уравнений преобразуется к системе алгебраических уравнений. Алгоритм решения задачи прост, а программа машинной реализации требует минимума времени при отладке. Однако, разностные методы являются неустойчивыми, т.е. решение зависит от величины шага интегрирования. На практике в начале производят расчеты с целью определения шага интегрирования. Критерием выбора является условие когда разность значений двух решений не превышает 5%.

Учитывая сказанное, в качестве метода решения полученной математической модели примем разностный метод.