Различные способы задания прямой в пространстве

Прямая определена точкой.

M d ↔ M₀M = at (1)

где t R параметрическое уравнение прямой (2)

= = (a₁ ≠0; a₂ ≠0; a₃ ≠0) каноническое уравнение прямой (3)

уравнение прямой в виде пересечения двух плоскостей (4)

где r(A) = = 2(*)

выч пересечение

A₁x₀ + B₁y₀ + C₁z₀ = 0 (6)

Из (a) - (6)

x-x₀ = t с одной стороны это векторное произведение, а с другой

y-y₀ = t координат направляющ вектором

z-z₀ = t

Векторное произведение – направляющий вектор плоскости.

Если n₁*n₂ = -каждая координата равна

10.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Возможны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости

1. Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с плоскостью общих точек. На левом

рисунке прямая l параллельна плоскости pi.

2. Прямая пересекает плоскость, если она имеет с плоскостью ровно одну общую точку. На рисунке в центре прямая l пересекает плоскость pi в точке A.

3. Прямая лежит в плоскости, если каждая точка прямой принадлежит этой плоскости. На

правом рисунке прямая l лежит в плоскости pi. В таком случае говорят ещё, что плоскость

pi проходит через прямую l.

Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями.

1.Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые.

2.Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются.

3.В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна плоскость, параллельная другой прямой.

Примеры скрещивающихся прямых: трамвайный рельс и троллейбусный провод по пересекающейся улице, нeпересекающиеся и непараллельные ребра пирамид или призм и пр. Все три случая можно видеть еще на примере прямых, по которым встречаются стены и потолок или стены и пол комнаты.

12)

Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности второго порядка. Цилиндрические ПВП, направляющими которых служат ЛВП. Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида в котором по крайней мере один из коэффициентов , , , , , отличен от нуля. Типы поверхностей второго порядка 1 Цилиндрические поверхности; 2 Конические поверхности; 3 Поверхности вращения; 4 Эллиптический параболоид; 5 Гиперболический параболоид; 6 Центральные поверхности

Поверхность называется цилиндрической поверхностью с образующей , если для любой точки этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей , целиком принадлежит поверхности . Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность имеет уравнение , то — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси . Кривая, задаваемая уравнением в плоскости , называется направляющей цилиндрической поверхности. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением

называется эллиптическим цилиндром, поверхность, которая задается уравнением

называется гиперболическим цилиндром, а которая задается уравнением

называется параболическим цилиндром.   13) Конические ПВП Поверхность называется конической поверхностью с вершиной в точке , если для любой точки этой поверхности прямая, проходящая через и , целиком принадлежит этой поверхности. Функция называется однородной порядка , если выполняется следующее: Теорема (об уравнении конической поверхности). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность задана уравнением , где — однородная функция, то — коническая поверхность с вершиной в начале координат. Если поверхность задана функцией , являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то называется конической поверхностью второго порядка. Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

14)

Поверхности вращения второго порядка Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d.

Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:

F(x² + y², z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.

Аналогично: F(x² + z², y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,

F(z² + y², x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.

1) - эллипсоид вращения

2) - однополостный гиперболоид вращения

3) - двуполостный гиперболоид вращения

4) - параболоид вращения

15)