Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Примеры решения задач. Пример №1. Кинетическая энергия Е электрона в атоме водорода составляет величину по-рядка 10 эВ

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 7Следующая ⇒




 

Пример №1. Кинетическая энергия Е электрона в атоме водорода составляет величину по-рядка 10 эВ. Используя соотношения неопределенностей, оценить минимальные линейные раз-меры атома.

 

Дано: Решение:  
Е = 10 эВ Неопределенность координаты и импульса электрона связаны соотноше-  
  нием:  
l min =?  
  x p ≥ ħ,  

 

где x – неопределенность координаты электрона; p – неопределенность его импульса.

 

Из этого соотношения следует, что чем точнее определяется положение частицы в про-странстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в преде-лах области с неопределенностью x = l / 2. Соотношение неопределенностей можно записать в этом случае в виде

 

l/2 p≥ ħ,

 

откуда

 

l ≥ 2ħ / p.

 

Физически разумная неопределенность импульса p, во всяком случае, не должна превы-

 

шать значение самого импульса р, т. е. p ≤ p. Импульс р связан с кинетической энергией Е со-отношением

p = 2 mE.

Заменим p значением 2 mE (такая замена не увеличит l).

 

Тогда: l min = 2ħ / 2 mE.

Расчет: l min = 124 пм.

Ответ: lmin= 124пм.

 

Пример №2. Определить неопределенность х в определении координаты электрона, дви-жущегося в атоме водорода со скоростью ν = 1.5* 106 м/с, если допускаемая неопределенность Δν в определении скорости составляет 10 % от ее величины.

 

Дано: Решение:
vx = 1.5*106м/с Запишем соотношение неопределенностей для координаты х и проекции
me = 9.1*10-31кг импульса рx и найдем ответ на вопрос задачи.
vx = 10% vx = х * vx * me ≥ h /(2*π);
= 0.15*106 м/с х = h/(2*π * me * vx).
х =?  
   

Ответ: х= 0.77м

 

Пример №3. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике (яме) шириной L = 0.5 нм на первом энергетическом уровне. Найти вероятность нахождения электрона в интервале L / 4, равно удаленном от стенок ящика.


 


Дано: Решение:
L=0.5*10-9м Вероятность обнаружения частицы в интервале от х1 до х2 равна:
n = 1 W = P = ∫│φ (х)│2*dx
L = L / 4 Выразим х1 и х2 через L.
W = P =?  
   

х1 = L/2 – L/8 = 3*L/8;

х2 = L/2 + L/8 = 5*L/8.

 

Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потен-циальном ящике, имеет вид:

                                                      Ψ (x) =               sin nπ x.                              
n L   L    
       
                                                                                                           
Т.к по условию задачи n = 1, то                                                                                        
                                                        Ψ (x) =               sin π x.                              
  L   L    
       
Получим:  
  x 2 = 5 L      
       
                                                W = P =   ∫8         sin2 πx dx.                  
                                                                       
x = 3 L L L  
         
     
Преобразуем, произведя замену для вычисления интеграла:                  
                                                      2 πx     L             2 π x                      
                                                                                                                             
                                                sin         =             1−cos               ,                  
                                                    L             L                    
         
и разобьем на два интеграла:                                                                                        
                                                  2 1   x 2                 L                 2 π x     2 π x            
                                          W = P =           ∫ dx   −             ∫cos                 d     .            
                                          L 2     2 π         L         L            
           
x 1  
Проведем расчет:                                                                                                        
                              L   2 π 5 L       2 π 3 L         L     L   5 π   3 π    
                                                                                                                             
W = P =             L −       L −   sin               −sin                           =                   −     sin   −sin     =  
  L                                               L                  
                            2 π                                                     2 π          
=   L − L =   − π = 0.2485    
                     
                 
L 2 π      
                                                                                                                   

Ответ: W = P = 0,2485≈0,249.

 

Пример №4. Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной

 

d = 0.5 нм Высота барьера U больше энергии Е электрона на 1%. Вычислить коэффициент про-зрачности D если энергия электрона Е = 100 эВ.

 

Дано:   Решение:                      
E= 100 эВ   По определению коэффициент прозрачности D равен:  
U = Е + 1%Е         D = e − 2 d 2 m (U − E) .  
-10 м                
d = 0.5нм = 5*10 Подставив данные, получим:                
D =?                  
                         
    D = e − 2⋅5⋅10−10 2⋅9.1⋅10−31 (1.6⋅10−19) = 6.5 ⋅10 −3 .    
         
           
               

Ответ: D = 6.5*10-3.


 


Пример №5. Частица находится в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шири-ной l с бесконечно высокими "стенками". Запишите уравнение Шредингера в пределах "ямы" 0 ≤ Х ≤ l и решите его.

 

Дано: Решение:                  
0 ≤ Х ≤ l     2 Ψ   2 m    
X < 0, U→ ∞     ∂ + (E − U)Ψ = 0.  
    ∂ x 2      
        2  
X > l, U→ ∞           0 ≤ Х ≤ l, U = 0,  
Ψ(x) -?                    
  ∂2Ψ + 2 m   E Ψ = 0.  
  ∂ x 2 2  
             

k 2 = 2 m 2 E,

∂2Ψ + k 2Ψ = 0. ∂ x 2

 

Ψ (x) = A sin kx + B cos kx.

 

Ψ(0) = 0, B = 0, Ψ(x) = A sin kx, k = nlπ,

  Ψ(x) = A sin nπ x .  
     
    l  
Ответ:Ψ(x)= A sin nπ x .    
     
  l    
                 

 

Прмер №6. Частица с энергией Е движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный барьер высотой U, причем Е < U. Принимая А1 = 1 и используя условия непрерывности волновой функции и ее первой производной на гра-нице областей 1 и 2, определить плотность вероятности | Ψ2(0) | 2 обнаружения частицы в точке х = 0 области 2.

 

U

 

 

E < U

 

U

 

1 2

 

x


 

 

Дано: Решение:

Е < U А1 = 1

Ψ1(0) = Ψ2(0)

Ψ1′(0) = Ψ2′(0) | Ψ2(0) | 2 =?


 

 

Ψ (x) = eik 1 x + B e − ik 1 x , k = 2 mE .  
           
         
Ψ (x) = A eik 2 x, k   = 2 m (E − U) .  
         
         

Ψ1′(x) = ik 1 eik 1 x + B 1(− ik 1) e − ik 1 x,

 


Ψ2′(x) = A 2 (ik 2) eik 2 x,

Ψ1(0) =1+ B 1, Ψ2 (0) = A 2.

 

Ψ1′(0) = ik 1 − ik 1 B 1, Ψ2′(0) = A 2 ik 2

1 + B1 = A2, k1 - B1 k1 = A2 k2 B1 = A2 – 1, k1 – (A2 – 1) k1 = A2 k2

2 k1 = (k1 + k2)A2, A2 = 2 k1 / k1 + k2

      = 2 k 1       E   E + i        
Ψ (0) 2 = A 2 + k   = 2 + E − U = 2 U − E =    
      k 1     E   E        
                     
= (     4 E         4 E       4 E  
E + i U − E)(E − i U − E)= E + i U − E − i U − E + U − E = U  

Ответ: Ψ2 (0) 2 = 4 UE.

 

Пример № 7. Волновая функция, описывающая состояние частицы в одномерной "потенци-альной яме" с бесконечно высокими "стенками", имеет вид Ψ(x) = A sin kx. Определите: 1) вид собственной волновой функции Ψn(x); 2) коэффициент А, исходя из условия нормировки веро-ятностей.

 

Дано: Решение:        
Ψ(x) = A sin kx   Ψ(0) = Ψ(l) = 0, Ψ(l) = A sin kl = 0.    
    kl = n π, k = n π / l, Ψn(x) = A sin n π / l x.    
1) Ψn(x) =?      
2) A =?          
    ∫ l | Ψn(x) |2 dx = 1,    
           
  ∫ l A2sin 2 n π / l * x dx = 1 / 2 A2 l = 1,    
           
      .    
Ответ: 1) Ψn(x) = A sin n π / l * x; 2) A = 2 .    
      l    
Занятие №36. Физика атомного ядра    
Основные формулы        
Момент импульса электрона на стационарных орбитах:    
    L = mvr = n, (n = 1, 2, 3...). (1)  

Энергия фотона, излучаемого атомом водорода при переходе из одного стационарного со-стояния в другое:

 

ε21 = Еn2 –En1. (2)

 


Формула Ридберга:

 

             
    ,  
λ        
= ℜ n 2 − n 2  
             
               

где ℜ =1.10 ⋅10−7 м–1 – постоянная Ридберга.

 

Радиус ядра:

R = R0 A 1/3,

где R0 = 1,4 10 –15 м;

 

A - массовое число (число нуклонов в ядре). Энергия связи нуклонов в ядре:

 

Eсв = [Zmp + (A - Z)mn - mя]c2 = [ZmH + (A - Z)mn - m]c2,

 

где mp, mn, mя – соответственно массы протона, нейтрона и ядра; Z - зарядовое число ядра (число протонов в ядре);

 

A - массовое число;

 

mH = mp + me - масса атома водорода (H 11); m - масса атома.

 

Дефект массы ядра:

 

∆m = [Zmp + (A - Z)mn ]- mя = [ZmH + (A - Z)mn ]- m.

 

Удельная энергия связи (энергия связи, отнесенная к одному нуклону):

 

δEсв = Eсв / A.

 

Число ядер, распавшихся в среднем за промежуток времени от t до t + dt: dN = – λ N dt,

где N – число нераспавшихся ядер к моменту времени t; λ - постоянная радиоактивного распада.

 

Закон радиоактивного распада:

 

N = N0 e –λ t,

 

где N – число нераспавшихся ядер в момент времени t;

 

N0 - начальное число нераспавшихся ядер (в момент времени t = 0); λ - постоянная радиоактивного распада.

 

Число ядер, распавшихся за время t:

 

∆N = N0 – N = N0(1 - e –λ t).

Связь периода полураспада T1/2 и постоянной радиоактивного распада λ:

 

T 1 / 2 = ln λ 2.

Активность нуклида:

 

A = dNdt = λN.

Энергия ядерной реакции:

 

Q = c2 [(m1 + m2) – (m3 + m4)],

 

где m1 и m2 – массы покоя ядра-мишени и бомбардирующей частицы; (m3 + m4) - суммы масс покоя ядер продуктов реакции.

 

При Q > 0 – экзотермическая реакция, при Q < 0 – эндотермическая реакция. Энергия ядерной реакции может быть представлена также в виде:

Q = (T1 + T2) – (T3 + T4),


 

 

(3)

 

(4)

 

(5)

 

 

(6)

 

(7)

 

(8)

 

(9)

 

(10)

 

 

(11)

 

(12)

 

 

(13)

 

(14)


 


где T1,T2,T3,T4 – кинетические энергии соответственно ядра-мишени, бомбардирующей части-цы, испускаемой частицы и ядра продукта реакции.

 

Скорость нарастания цепной реакции:          
  dN = N (k −1) . (15)  
  dt    
    T    

 

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Date: 2015-07-01; view: 1668; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...


mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию