Примеры решения задач. Пример №1. Электрическая лампа мощностью 100Вт испускает 3% потребляемой энергии в форме видимого света (λ=550 нм) равномерно по всем направлениям

Пример №1. Электрическая лампа мощностью 100Вт испускает 3% потребляемой энергии в форме видимого света (λ=550 нм) равномерно по всем направлениям. Сколько фотонов види-

мого света попадает за 1с в зрачок наблюдателя (диаметр зрачка 4 мм), находящегося на рас-стоянии 10 км от лампы?

Площадь зрачка наблюдателя

S_зр=π·d².

Тогда

N_γ= N`_γ· S_зр =0,03·P·t·λ·π·d²/4·π·r²·h·c.

Проверка единицы измерения расчетной величины

N_γ =1=Дж·м²·м·с/м²·Дж·м·с=1

Расчет числового значения: N_з=8,3·10⁴ фотонов. Ответ: N_з=8,3·10⁴фотонов.

Пример №2. Найти постоянную Планка h, если известно, что электроны, вырываемые из ме-талла светом с частотой υ₁ = 2,2·10¹⁵, полностью задерживается разностью потенциалов

U_з1 = 6.6 В, а вырываемые светом с частотой υ₂ = 4,6·10¹⁵ Гц разностью потенциалов

U_з2 = 16.5 В.

Выразим изА_вых:

А_вых = h·υ₁- е·U_з1,

и подставим в уравнение Эйнштейна

h·υ₂ = h·υ₁ -е·U_з1+ е·U_з2.

Преобразуем так:

h·(υ₂-υ₁) = е·(U_з2-U_з1).

И получим:

h = e·(U_з1-U_з2)/(υ₂- υ₁).

Проверим единицу измерения:

(h) = Дж·с=Кл·В/с^-1= Дж·с

Расчет: h=1,6·10^-19Кл·9,9В/2,4·10¹⁵=6,6·10^-34Дж·с Ответ: h=6.6·10^-34Дж·с.

Пример №3. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь прошел ускоряю-щую разность потенциалов U=30кВ. Найти длину волны де Бройля.

Дано:

v₀ = 0 m_e=9.1_*10^-31кг

U_уск.=30·10³=3·10⁴В

λ=?

Решение:

По определению длина волны де Бройля равна:

λ = h/p.

Определим, классически или релятивистки движется электрон. Для этого найдем кинетическую энергию электрона и сравним ее с энергией покоя.

Е₀=m_0·c².

Если Т_к =< T₀, то движение электрона является релятивистским, если Т_к<<T₀, то классическим.

Т = е·U₁ = 1.6·10^-19 ·3·10⁴Дж = 4.8·10^-15Дж = 3·10⁴ эВ; еU = m_{e ·}v² / 2.

V = ^{2 eU} .

m_e

E₀ = m_0·c²=0.5 МэВ = 5·10⁵эВ

Т. к Т<<Е₀- имеем дело с классическим случаем движения электрона. Тогда

Расчет числовой величины:

λ= 11, 61 10 ^–25 м.

Ответ: λ= 11, 61 * 10^–25м.

Пример №4. Определить максимальную скорость υ_мах фотоэлектронов, вырываемых с по-верхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ₁ = 0,155 мкм; 2) γ – из-лучением с длиной волны λ₂ = 2,47 пм.

или по релятивистской:

Е_к = (m - m₀) с ².

Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энер-гия фотона во много раз меньше энергии покоя электрона, то может быть применена классиче-ская формула; если же энергия фотона сравнима с энергией покоя электрона то вычисление по классической формуле приводит к грубой ошибке, в этом случае кинетическую энергию фото-электрона необходимо выражать по релятивистской формуле.

ε₁ = h c / λ_1. ε₁ = 8 эВ.

Это значение энергии фотона много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следова-тельно, для данного случая:

ε₁ = А _вых + m₀ υ ² / 2,

откуда:

Расчет:

υ_мах = 1,08 Мм/с.

Вычислим энергию фотона γ – излучения:

ε₂ = h c / λ₂ = 8,04 * 10 ^–15 Дж = 0,502 МэВ.

Работа выхода электрона пренебрежимо мала по сравнению с энергией γ – фотона, поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона:

Е_{к мах} = ε₂ = 0,502 МэВ.

Так как в данном случае кинетическая энергия электрона сравнима с его энергией покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии:

Е_{к мах} = Е₀ (1/ 1− β ² – 1),

где Е₀ = m₀ с ², выполнив преобразования получим:

β = 1− β ² (2 Е₀ + Е_{к мах}) Е_{к мах} / (Е₀ + Е_{к мах}) = 0,755

Следовательно, максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых γ – излучением:

υ_мах = с β = 226 Мм/с.

Ответ: 1)υ_мах= 1,08Мм/с. 2)υ_мах= 226Мм/с.

Пример №5. Определить красную границу λ₀ фотоэффекта для цезия, если при облучении его поверхности фиолетовым светом длиной волны λ = 400 нм максимальная скорость фото-электронов равна υ_мах = 0,65 Мм/с?

Дано:

λ = 400 нм = = 4 * 10 ^–7 м

υ_мах =0,65мм/с = = 6,5 * 10 ⁵ м/с

λ₀ =?

отсюда:

Решение:

При облучении светом, длина волны λ₀ которого соответствует красной границе фотоэффекта, скорость, а следовательно и кинетическая энергия фо-тоэлектронов равны нулю. Поэтому уравнение Эйнштейна для фотоэффекта запишется в виде:

ε = А _вых + Е_к;

h c / λ₀ = А,

λ₀ = h c / А.

Работу выхода для цезия определим с помощью уравнения Эйнштейна:

А _вых = ε - Е_к = h c / λ - m υ ² / 2 = 3,05 * 10 ^–19 Дж,

тогда:

λ₀ = 640 нм.

Ответ: λ₀= 640нм.

Пример №6. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рас-сеян на угол θ = 90 ⁰. Энергия ε^, рассеянного фотона равна 0,4 МэВ. Определить энергию ε фо-тона до рассеяния.

преобразуем, с учетом:

ε = 2 π ħ с / λ,

а длины волн λ^, и λ выразим через энергии ε^, и ε соответствующих фотонов:

2 π ħ с / ε^, - 2 π ħ с / ε = (2 π ħ с/ m с²) 2 sin ² θ/2

ε = (ε^, m с²) / m с² - ε^, 2 sin ² θ/2 = ε^, Е₀ / Е₀ – 2 ε^, sin ² θ/2, где Е₀ = m₀ с ²

Расчет: ε = 1,85 МэВ.

Ответ: ε= 1,85МэВ.

Пример №7. Параллельный пучок света длиной волны λ = 500 нм падает нормально на за-черненную поверхность, производя давление р = 10 мкПа. Определить: 1) концентрацию фото-нов n в пучке; 2) число фотонов n₁, падающих на поверхность площадью 1 м² за время 1 с.

Дано:

λ = 500 нм S = 1 м²

р = 10 мкПа t = 1c

n =? n₁ =?

И получим:

Решение:

Концентрация фотонов n в пучке может быть найдена, как частное от де-ления объемной плотности энергии ω на энергию одного фотона ε

n = ω / ε.

Из формулы

p = ω * (1 + ρ),

определяющей давление света, где – коэффициент отражения найдем:

ω = p / (1 + ρ).

n = p / (1 + ρ) ε.

Энергия фотона зависит от частоты, а следовательно и от длины световой волны:

ε = h υ = h c / λ.

Получим искомую концентрацию фотонов:

n = p λ / (1 + ρ) h c.

Коэффициент отражения ρ для зачерненной поверхности принимаем равным нулю. Расчет:

n = 2,52 * 10 ¹³ м ^–3.

Число фотонов n₁, падающих на поверхность площадью 1 м² за время 1 с, найдем из соот-ношения n₁ = N / S t, где N – число фотонов, падающих за время t на поверхность площадью S.

Но N = n c S t, следовательно, n₁ = n c S t / S t = n c

Расчет:

n₁ = 7, 56 * 10 ²¹ м ^–2 с ^–1 Ответ: n = 2,52 * 10¹³м^–3, n₁= 7, 56 * 10²¹м^–2с^–1.