Методы одномерной минимизации

Заключительная глава пособия посвящена методам одномерной минимизации. Задача минимизации функций одной переменной актуальна не только как самостоятельная проблема, имеющая многочисленные приложения, но и как вспомогательная задача в рамках различных методов безусловной минимизации и методов решения задачи нелинейного программирования. Например, задача одномерной минимизации возникает при нахождении полного шага в различных вариантах вышеизложенных методов многомерной оптимизации.

Дадим следующие определения.

Определение 1. Функция одного действительного переменного определенная на отрезке называется унимодальной на , если существует точка такая, что функция убывает на и возрастает на .

Примером унимодальной функции служит строго выпуклая на функция.

Если унимодальная функция достигает на точной нижней грани (например, в случае, когда функция непрерывна на ограниченном отрезке ), то только в точке . В этом случае – это единственный локальный минимум функции на отрезке .

Определение 2. Ограниченный отрезок , содержащий единственный локальный минимум функции , называется отрезком локализации.

Легко увидеть, что справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть функция унимодальна на отрезке , и . Тогда, если , то . Если же , то .

Этот факт будет в дальнейшем использоваться в различных методах.

Знакомство с методами одномерного поиска начнем с методов решения задачи минимизации унимодальной функции на отрезке локализации .