Порядок выполнения работы. 3.1. Получить вариант задания у преподавателя на построение экспериментально-статистической модели объекта и выполнение его экспериментальной оптимизации;

3.1. Получить вариант задания у преподавателя на построение экспериментально-статистической модели объекта и выполнение его экспериментальной оптимизации;

3.2. Выбрать центр плана, интервалы варьирования переменных и количество опытов в центре плана. Первый раз вся указанная информация выбирается на основании интуиции, т.е. в некоторой степени произвольно. На последующих этапах для выбора нового центра плана используется информация, полученная на предыдущем этапе.

3.3. Сделать подход к ЭВМ с целью получения результатов эксперимента.

При этом используется программа «Эксперимент», Исходные данные должны быть представлены в следующем виде:

N варианта

план = (вид используемого эксперимента, количество опытов в центре плана (для оценки дисперсии воспроизводимости)).

Координаты центра плана

интервалы варьирования факторов.

3.4. Обработать результаты эксперимента:

рассчитать коэффициенты в уравнении регрессии, оценить их значимость, проверить адекватность уравнения. Для этого можно использовать ЭВМ по программе «Обработка результатов эксперимента».

В последнем случае на экран выводятся:

а) коэффициенты в уравнении регрессии (в виде таблицы) с указанием их значимости. Коэффициенты выводятся в следующем порядке:

при использовании ПФЭ —> В0,В1,В2,…. В12,…

при использовании ОЦКП —> В0,В1,В2,….. В12,….. В11, В22,…

б) результаты сопоставления экспериментальных и рассчитанных по уравнению регрессии значений целевой функции в различных точках факторного пространства (в виде таблицы).

В) число степеней свободы дисперсии воспроизводимости и дисперсии адекватности F1 и F2, расчетное значение критерия Фишера FI.

Гипотезу об адекватности полученного уравнения студент принимает или отвергает самостоятельно. Если полученное уравнение «неадэкватно» - уменьшив интервалы варьирования, повторить пункты 3.3 и 3.4.

3.5. Проанализировать полученное адекватное уравнение регрессии с целью определения направления движения к экстремальной точке.

3.6. В выбранном направлении выполнить поиск оптимума.

А) в случае использования ПФЭ возможно применение метода Бокса—Уилсона;

б) при использовании ОЦКП применяется процедура приведения уравнения

регрессии к канонической форме. При этом можно использовать программу «Обработка результатов эксперимента». После выполнения канонического преобразования проводится его анализ, включающий заключение студента о характере полученной зависимости и решение о переносе центра плана в новую точку с целью нахождения минимального значения целевой функции.

В) если каноническое преобразование провести не удается (опре­делитель матрицы равен нулю), то студент может, либо изменить центр плана и повторить пункты 3.2. — 3.5., либо использовать одну из программ оптимизации функции нескольких переменных пo ука­занию преподавателя или по выбору студента.

3.7. уточнить положение экстремума целевой функции по результатам ОЦКП в области оптимального значения. Для этого необходимо:

а) провести серию опытов на основе ОЦКП с центром в точке факторного пространства, определенной на предыдущем этапе. По результатам опытов - построить уравнение регрессии второго порядка, используя при этом программу «Обработка результатов эксперимента»;

б) если полученное уравнение регрессии второго порядка адекватно описывает эксперимент, то перейти к в), иначе изменить интервалы варьирования и повторить п. а);

в) уточнить координаты экстремума целевой функции путем решения системы уравнений (линейной для уравнения регрессии второго порядка).

г) если координаты экстремума определяют точку внутри области планирования ОЦКП, задачу оптимизации можно считать решённой, иначе следует перенести центр плана в полученную точку и повторить п.п. а) –г).

При выполнении работы во избежание ошибок рекомендуется одновременно с постановкой опытов заполнять соответствующую таблицу и рисовать в масштабе траекторию движения в пространстве изменения факторов (Рисунок 1).

3.8. Уравнение регрессии и полученные оптимальные значения факторов определены в системе координат, начало которой совпадают с центром в области планирования эксперимента (т.е. – в кодированной форме). Для перехода к исходной системе координат необходимо воспользоваться формулами кодирования.

3.9. Построение линий равного уровня для полученного уравнения регрессии. При этом можно использовать программу «Обработка результатов эксперимента».

3.10. Нахождение условного экстремума целевой функции с учетом выданного преподавателем ограничения. Нахождение условного экстремума осуществляется методом неопределенных множителей Лагранжа.

3.11. Результаты экспериментально-статистического моделирования и оптимизации оформить в виде отчета и представить преподавателю. Отчет должен содержать:

а). Оглавление.

Б). Введение.

В). Теоретическая часть:

описание стратегии эффективного планирования экспери­мента (ее возможности и задачи), описание планов первого и второго порядка с приведением расчетных формул; описание процедуры канонического преобразования; описание метода неопределенных множителей Лагранжа; описание методики построения линий равного уровня.

Г). Экспериментальная часть:

описание проведенных экспериментов с подробным объяснением стратегии движения к оптимуму; анализ поведения функции в районе оптимума.

Д). Выводы

е). Список использованной литературы.

Ж). Приложения - все полученные на ЭВМ результаты (распечатки) с необходимыми пояснениями, таблицы и графики с экспериментальными и расчетными результатами в соответствии с порядком выполнения работы; (матрицы использованных планов, стратегия поиска экстремума, линии равного уровня).

Вариант № 11

С целью анализа поверхности целевой функции и выбора направления движения к ее минимуму проведем эксперимент по плану ПФЭ типа 2², количество опытов в центре плана = 5

координаты центра плана: Х₁ = 5, Х₂ = 5

интервалы варьирования факторов: Δ Х₁ = 1, Δ Х₂ = 1

Результаты эксперимента:

Обработка результатов эксперимента:

Так как расчетное значение критерия Фишера (F расчетное) меньше табличного (F табличное) можно сделать вывод о том, что полученное уравнение регрессии

с 95% доверительной вероятностью АДЕКВАТНО описывает экспериментальные данные.

Из анализа полученного адекватного уравнения регрессии принимаем решение для нахождения минимума поверхности отклика начать движение в сторону увеличения переменных Х₁ и Х₂, т.к. знаки коэффициентов в уравнении регрессии ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ.

Движение осуществляем с шагом равным интервалу варьирования в ПФЭ.

№ ОПЫТА				примечания
			648,04
				Δ Х1 = 1, Δ Х2 = 1
			516,2624	Шаг удачный
			400,7072	Шаг удачный
			299,4035	Шаг удачный
			215,4694	Шаг удачный
			148,1400	Шаг удачный
			95,7934	Шаг удачный
			59,5982	Шаг удачный
			39,5748	Шаг удачный
			35,5920	Шаг удачный
			47,5678	Шаг неудачный

Лучшей точкой, в выбранном направлении поиска, оказалась точка с координатами Х₁=14 и Х₂=14. Выбираем ее за центр плана и проводим ПФЭ, оставив Δ Х₁ = 1, Δ Х₂ = 1.

Обработка результатов эксперимента:

Уменьшаем интервал варьирования переменных до 0,5 и повторяем ПФЭ и обработку его результатов. Как оказывается, для получения адекватного уравнения регрессии интервал варьирования факторов необходимо уменьшить до 0,01

Обработка результатов эксперимента:

т.к. коэффициенты в полученном уравнении регрессии при обоих факторах не значимы – увеличим интервал по обеим переменным до 0,02 и повторим ПФЭ.

Обработка результатов эксперимента:

Из анализа полученного адекватного уравнения регрессии

принимаем решение для нахождения минимума на поверхности отклика начать движение в сторону увеличения Х₂ и уменьшения Х₁, т.к. знак коэффициента Х₂ в уравнении регрессии ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ, а Х₁ – ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ. Движение осуществляем с шагом равным интервалу варьирования в ПФЭ.

№ ОПЫТА
			35,5920
				Δ Х1 = -0,02, Δ Х2 = 0,02
	13,98	14,02	35,2973	Шаг удачный
	13,96	14,04	35,1497	Шаг удачный
	13,94	14,06	34,9562	Шаг удачный
				Шаг увеличим вдвое (разгон) Δ Х1 = -0,04, Δ Х2 = 0,04
	13,90	14,10	34,5549	Шаг удачный
				Увеличим шаг до Δ Х1 = 0,1, Δ Х2 = 0,1
	13,80	14,20	33,4889	Шаг удачный
	13,70	14,30	32,4495	Шаг удачный
	13,60	14,40	31,5503	Шаг удачный
	13,50	14,50	30,6056	Шаг удачный
				Увеличим шаг до Δ Х1 = -0,5, Δ Х2 = 0,5
			26,6031	Шаг удачный
	12,5	15,5	23,6119	Шаг удачный
			21,6304	Шаг удачный
	11,5	16,5	20,6237	Шаг удачный
			20,6261	Шаг неудачный
				Уменьшим шаг до Δ Х1 = 0,1, Δ Х2 = -0,1 и изменим направление на обратное
	11,1	16,9	20,5438	Шаг удачный
	11,2	16,8	20,5047	Шаг удачный
	11,3	16,7	20,5069	Шаг неудачный
				Изменим шаг Δ Х1 = -0,05, Δ Х2 = 0,05
	11,25	16,75	20,5008	Шаг удачный
				Изменим шаг Δ Х1 = -0,02, Δ Х2 = 0,02
	11,23	16,77	20,5007	Шаг удачный
	11,21	16,79	20,5027	Шаг неудачный

Лучшей точкой в выбранном направлении поиска оказалась точка с координатами Х₁=11,23 и Х₂=16,77. Выбираем ее за центр плана и проводим ПФЭ оставив Δ Х₁ = 0,02, Δ Х₂ = 0,02.

Обработка результатов эксперимента:

Движение в сторону уменьшения Х₁ и Х₂

№ ОПЫТА
	11,23	16,77	20,5007
				Δ Х1 = -0,02, Δ Х2 = -0,02
	11,21	16,75	20,4240	Шаг удачный
	11,19	16,73	20,3543	Шаг удачный
	11,17	16,71	20,2892	Шаг удачный
	11,15	16,69	20,2313	Шаг удачный
	11,13	16,67	20,1801	Шаг удачный
	11,11	16,65	20,1361	Шаг удачный
	11,09	16,63	20,0977	Шаг удачный
	11,07	16,61	20,0654	Шаг удачный
	11,05	16,59	20,0401	Шаг удачный
	11,03	16,57	20,0207	Шаг удачный
	11,01	16,55	20,0079	Шаг удачный
	10,99	16,53	20,0016	Шаг удачный
	10,97	16,51	20,0015	Шаг удачный
	10,95	16,49	20,0080	Шаг неудачный

Полный факторный эксперимент в точке с координатами Х₁=10,97 и Х₂=16,49

и интервалами Δ Х₁ = 0,02, Δ Х₂ = 0,02 приводит к неадекватному уравнению регрессии. Уменьшение интервала до Δ Х₁ = 0,01, Δ Х₂ = 0,01, также не приводит к адекватному уравнению регрессии. Поэтому считаем, что целевая функция имеет минимальное значение = 20 при значениях факторов Х₁=10,97 и Х₂=16,49. Координаты экстремума определены с точностью в 0,01.

Траектория движения к минимуму представлена на рисунке 1.

Рис.1 Траектория движения к минимуму из исходной точки (5,5)