Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 Очень многие процессы в природе и технике можно представить в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Во многих случаях эти системы представляются так: Dx1/dt = F1 (t, x1, x2, …, xn) x1(t0) = x10 Dx2/dt = F2 (t, x1, x2, …, xn) x2(t0) = x20 … Dxn/dt = Fn (t, x1, x2, …, xn) xn(t0) = xn0 Эти х описывают состояние системы. Изменятся они, изменится и объект. F1, …, Fn – некие функции от времени и х. Эти функции называются правыми частями. Для каждого уравнения они свои. Если мы нашли эти функции, то мы построили математическую модель объекта. К этим уравнениям добавляются начальные условия. Замечание: в некоторых случаях требуется найти, что было с системой в прошлом. Это все вместе называется задачей Коши. Dxi/dt = Fi (t, x1, x2, …, xn), i = 1,2,…,n xi(t0) = xi0, xi(t) =? Этот набор иксов можно представить в виде точки в n-мерном пространстве. Это пространство называется фазовым. Если иксы меняются, то точка движется. Эта траектория называется фазовой. Методы классической математики позволяют решить задачу Коши только в ограниченных случаях. Приближенное решение с помощью компьютера возможно практически всегда. Метод Эйлера. Время будем считать дискретным. Dxi/dt = (xk+1i - xki)/tau, чем tau меньше, тем точнее. Заменим все производные такими выражениями. (xk+1i - xki)/tau = Fi (tk, x1к, x2к, …, xnк) Правую часть возьмем в к-тый момент времени. xk+1i = xki +tau* Fi (tk, x1к, x2к, …, xnк) Если известны значения всех иксов в тк, то можно рассчитать значения иксов в к+1 момент времени. Расчетные формулы метода Эйлера – это уравнения прямой. Прямая проходит как касательная в точке тк. Глобальная погрешность уменьшается с шагом по времени. Выбор шага по времени. Задача: выбрать шаг по времени и выполнить вычисления до максимального времени. Составим таблицы и запишем в них значения иксов. После этого шаг по времени уменьшаем вдвое и повторяем вычисления. Результат третьего шага сравниваем с результатами второго. Если эти результаты близки в пределах допустимой погрешности, то шаг по времени признается удачным. В ответ выдаются результаты первого опыта. Если в результате второго опыта получаются результаты, сильно отличающиеся от первого опыта, то шаг по времени признается неудачным и его нужно поделить ещё раз на 2 и снова повторить вычисления. Это будет опыт №3. После этого сравниваем результаты опытов №2 и №3 и т.д., пока не добьемся нужной точности. Все вычисления производятся с округлением, значит, мы не можем уменьшать шаг до бесконечности. Чем меньше шаг, тем больше считать – второй недостаток. Существует некоторый нижний предел шага по времени, ниже которого брать не следует. Улучшенный метод Эйлера.
1 шаг. xk+0,5i = xki +0,5*tau* Fi (tk, x1к, x2к, …, xnк) Fiк+0,5= Fi (tk+0,5, x1к+0,5, x2к+0,5, …, xnк+0,5) 2 шаг. xk+1i = xki +0,5*tau* Fiк+0,5 Улучшенный метод Эйлера состоит в следующем:
|