Графический метод решения игр 2 хn и m Х 2

Поясним метод на примерах.

Пример 1.

Рассмотрим игру, заданную платёжной матрицей.

На плоскости хОy введём систему координат и на оси Ох отложим отрезок единичной длины А₁, А₂, каждой точке которого поставим в соответствие некоторую смешанную стратегию игрока 1 (х, 1 - х). В частности, точке А₁ (0;0) отвечает стратегия А₁, точке А₂ (1;0) – стратегия А₂ и т.д.

y

М N 5

2 u 2

x

В точках А₁ и А₂ восстановим перпендикуляр и на полученных прямых будем откладывать выигрыш игроков. На первом перпендикуляре (в данном случае он совпадает с осью 0y) отложим выигрыш игрока 1 при стратегии А₁, а на втором – при стратегии А₂. Если игрок 1 применит стратегию А₁, то выиграет при стратегии В₁ игрока 2 – 2, при стратегии В₂ – 3, а при стратегии В₃ – 11. Числам 2, 3, 11 на оси 0х соответствуют точки В₁, В₂ и В₃.

Если же игрок 1 применит стратегию А₂, то его выигрыш при стратегии В₁ равен 7, при В₂ – 5, а при В₃ – 2. Эти числа определяют точки В¢₁, В₂¢, В₃¢ на перпендикуляре, восстановленном в точке А₂.Соединяя между собой точки В₁ и В¢₁, В₂ и В¢₂, В₃ и В¢₃ получим три прямые, расстояние до которых от оси 0х определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующих стратегий. Например, расстояние от любой точки отрезка В₁В¢₁ до оси 0х определяет средний выигрыш u₁ при любом сочетании стратегий А₁ А₂ (с частотами х и 1– х) и стратегией В₁ игрока 2. Это расстояние равно

2 х₁ + 6(1 - х₂) = u₁

(Вспомните планиметрию и рассмотрите трапецию А₁ B₁ B¢₁ A₂). Таким образом, ординаты точек, принадлежащих ломанной В₁ M N В¢₃ определяют минимальный выигрыш игрока 1 при применении им любых смешанных стратегий. Эта минимальная величина является максимальной в точке N; следовательно этой точке соответствует оптимальная стратегия Х* = (х, 1- х), а её ордината равна цене игры u. Координаты точки N находим как точку пересечения прямых В₂ B¢₂ и В₃ B¢₃.

Соответствующие два уравнения имеют вид

.

Следовательно Х = (; ), при цене игры u = . Таким образом мы можем найти оптимальную стратегию при помощи матрицы

Оптимальные стратегии для игрока 2 можно найти из системы

и, следовательно, Y = (0; ; ). (Из рисунка видно, что стратегия B₁ не войдёт в оптимальную стратегию.

Пример 2. Найти решение игры, заданной матрицей

x 8

6 К 6

Решение. Матрица имеет размерность 2 х 4. Строим прямые, соответствующие стратегиям игрока 1. Ломанная А₁ K А¢₄ соответствует верхней границе выигрыша игрока 1, а отрезок N K –цене игры. Решение игры таково

U = (; ); Х = (; 0; 0; ); u = .