Энергия поля равномерно заряженной сферы

Пусть электрический заряд Q равномерно распределен по поверхности сферы радиуса R. Вне сферы электрическое поле, создаваемое зарядами на сфере, эквивалентно полю точечного заряда, помещенного в центре сфере (рис. 219). Внутри сферы поле отсутствует. Так напряженность поля в точке, находящейся на расстоянии r от центра сферы равна

E (r)= Q 4 πε 0 r 2, (10)

в частности непосредственно у поверхности сферы напряженность поля равна

E 0= Q 4 πε 0 R 2. (11)

Обратим внимание, что произведение S =4 πR 2 есть площадь сферы, поэтому отношение Q 4 πε 0= σ является поверхностной плотностью заряда на сфере, поэтому напряженность поля у поверхности сферы выражается той же формулой, что и напряженность поля между пластинами, рассмотренными в предыдущем разделе E 0= σε 0. Потенциал поверхности сферы также был вычислен нами ранее

φ 0= Q 4 πε 0 R. (12)

Рассчитаем теперь энергию поля, создаваемого зарядами на сфере. Мысленно разделим заряд сферы на N равных малых частей (рис.220), величины которых равны δQk = QN (k = 1,2… N). Рассмотрим один из этих малых зарядов. В точке его расположения потенциал поля, создаваемого всеми остальными (N -1) зарядами равен φk =(N −1) δQ 4 πε 0 R. С использованием симметричной формулы U =12∑ kqkφk, выражение для энергии взаимодействия приобретает вид

U =12∑ kqkφk =12∑ Nk =1 δQk (N −1) δQ 4 πε 0 R,

данная сумма содержит N одинаковых слагаемых, поэтому равна

U =12∑ Nk =1 δQk (N −1) δQ 4 πε 0 R =12 NδQ (N −1) δQ 4 πε 0 R =12 N (N −1)(δQ)24 πε 0 R = Q 28 πε 0 R (1−1 N). (13)

Так как число частей N, на которые разбивается сфера, может быть сделано сколь угодно большим, поэтому в пределе N →∞ слагаемое 1 N исчезает, поэтому окончательное выражение для энергии взаимодействия зарядов сферы имеет вид

U = Q 28 πε 0 R. (14)

Заметим, что полученное выражение имеет вид U =12 Qφ 0. Если сразу заявить, что уменьшение заряда на малую величину δQ пренебрежимо мало изменяет потенциал сферы, то результат (4) получается прямым применением формулы для энергии взаимодействия зарядов. Однако обращение с малыми величинами требует известной строгости, поэтому мы и привели несколько «удлиненный» вывод.

Приведем еще один вывод этой же формулы. Для этого энергию системы рассчитаем как работу, которую необходимо совершить, чтобы зарядить сферу. Мысленно будем заряжать сферу малыми равными порциями заряда δQk = QN (k = 1,2… N), которые будем переносить на сферу из «бесконечности». Если сфера не заряжена, то перенесение первой «порции» заряда не требует совершения никакой работы. После того как сфера приобрела некоторый электрический заряд, перенесение следующей порции заряда требует совершения работы по преодолению сил отталкивания со стороны зарядов сферы. Если на сферу перенесено (k -1) порций заряда, то ее потенциал равен φ (k −1)=(k −1) δQ 4 πε 0 R. Поэтому для того, что бы перенести на сферу следующую порцию заряда необходимо совершить работу

Ak = δQφ (k −1)=(k −1)(δQ)24 πε 0 R.

Заметьте, что для перенесения каждой следующей порции заряда надо совершать большую работу.

Полная работа по зарядке сферы (равная энергии электрического поля сферы) выражается суммой геометрической прогрессии

U = A =12∑ Nk =1 A =(δQ)24 πε 0 R ∑ Nk =1(k −1)=(δQ)24 πε 0 RN (N −1)2= Q 28 πε 0 R (1−1 N). (15)

Как и следовало ожидать, мы получили выражение, полностью совпадающее с (13), при бесконечном уменьшении порций переносимых зарядов (N →∞) мы опять приходим к формуле (14).

В этом нет ничего удивительного, так как в первом случае мы подсчитали энергию, которая выделится при разбегании зарядов со сферы, а во втором – энергию, которую необходимо затратить, чтобы собрать их обратно.

Покажем, что энергию взаимодействия зарядов и в этом случае можно истолковать как энергию электрического поля, «размазанную» по всему пространству, где существует поле. Представим, что радиус сферы увеличился на малую величину Δ R, а ее заряд при этом не изменился. Согласно формуле (14) энергия взаимодействия зарядов при этом уменьшится. В пространстве вне сферы увеличенного радиуса электрическое поле не изменилось, а в тонком сферическом слое между начальной и расширенной сферами – исчезло (рис. 221). Поэтому следует считать, что уменьшение энергии взаимодействия зарядов при увеличении радиуса сферы равно энергии, которая заключена в этом тонком сферическом слое. При малой толщине слоя его объем можно вычислить как произведение площади сферы на толщину слоя Δ V =4 πR 2Δ R. Пренебрегая изменением напряженности поля в пределах тонкого слоя, энергию, заключенную в нем запишем в виде

Δ U = w Δ V =4 πR 2Δ Rw, (16)

где w - плотность энергии поля. С другой стороны эта энергия равна изменению энергии взаимодействия зарядов при увеличении радиуса сферы

Δ U = Q 28 πε 0 R − Q 28 πε 0(R +Δ R)= Q 28 πε 0Δ RR (R +Δ R)≈ Q 28 πε 0Δ RR 2.

На последнем шаге, мы пренебрегли малым изменением радиуса Δ R. Наконец, выразим заряд шара через напряженность электрического поля у его поверхности Q =4 πε 0 R 2 E:

Δ U = Q 28 πε 0Δ RR 2= ε 0 E 224 πR 2Δ R.

Из сравнения с формулой (16) следует, что и в рассматриваемом случае плотность энергии электрического поля выражается формулой w = ε 0 E 22.