Геометрическая интерпретация метода Ньютона

Этот метод применяется, если уравнение f(x) = 0 имеет корень x Î [a;b], и выполняются условия:

1) функция y=f(x) определена и непрерывна при xÎ(- ¥; + ¥)

2) f(a)·f(b)<0 (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка [a;b]);

3) производные f ¢(x) и f ²(x) сохраняют знак на отрезке [a;b] (т.е. функция f(x) либо возрастает, либо убывает на отрезке [a;b], сохраняя при этом направление выпуклости).

4) f ¢(x) ¹ 0 при xÎ[a;b]

Основная идея метода заключается в следующем: на отрезке [a;b] выбирается такое число x₀, при котором f(x₀) имеет тот же знак, что и f ²(x₀), т. е. выполняется условие f(x₀)·f ²(x)>0. Таким образом, выбирается точка с абсциссой x₀, в которой касательная к кривой y=f(x) на отрезке [a;b] пересекает ось Ox. За точку x₀ сначала удобно выбирать один из концов отрезка.

Пусть нам дана некоторая функция f(x) = 0 на отрезке [a,b]. Возможно 4 случая:

- f(a)-f(b) < 0; f ¢(x) > 0; f ²(x) > 0

- f(a)-f(b) < 0; f ¢(x) > 0; f ²(x) < 0

- f(a)-f(b) > 0; f ¢(x) < 0; f ²(x) > 0

- f(a)-f(b) >0; f ¢(x) < 0; f ²(x) < 0

Пусть нам дана возрастающая функция y = f(x), непрерывная на отрезке [a;b], и имеющая f ¢(x) > 0 и f ²(x) > 0. Уравнение касательной имеет вид: y‑y0= f ¢(x₀)·(x-x₀). В качестве точки x0 выбираем точку B(b; f(b)). Проводим касательную к функции y = f(x) в точке B, и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x₁. Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x1, получаем точку b₁. Снова проводим касательную к функции y = f(x) в точке b₁, и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x2. Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x₂, получаем точку b₂.

Первое приближение корня определяется по формуле: .

Второе приближение корня определяется по формуле: .

Таким образом, i-ое приближение корны определяется по формуле:

Вычисления ведутся до тех пор, пока не будет достигнуто совпадение десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или заданной точности e - до выполнения неравенства | x_i-x_i-1| < e.