Алгоритмическая часть. Теоретические сведения. 2

Лабораторная работа №1

Вариант 1

Руководитель _______________ Чубаров А.В.

подпись, дата

Студентка, УБ11-01 _______________ Ивкина В.А.

подпись, дата

Красноярск 2013

Оглавление

Постановка задачи. 1

Теоретические сведения. 2

Алгоритмическая часть. 3

Заключение. 6

Постановка задачи

1. Используя метод наименьших квадратов аппроксимировать функцию Q=f(s) заданную таблично в многочлен 2-ой степени вида: Q= а₁+а₂s+a₃s² .

2. Построить линию тренда и сравнить результаты.

Теоретические сведения

Пусть дана система уравнений f(x)=y, где f - некоторые функции, y - некоторые известные значения, x - набор неизвестных (искомых) переменных. Для произвольных значений x значения y отличаются от f(x). Суть метода наименьших квадратов заключается в том, чтобы найти такие значения x, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений (ошибок) e=y-f(x):

В случае, если система уравнений имеет решение, то минимум суммы квадратов будет равен нулю и могут быть найдены точные решения системы уравнений аналитически или, например, различными численными методами оптимизации.

Аппроксимация данных и регрессионный анализ.

Пусть имеется значений некоторой переменной (это могут быть результаты наблюдений, экспериментов и т.д.) и соответствующих переменных. Задача заключается в том, чтобы взаимосвязь между и аппроксимировать некоторой функцией, известной с точностью до некоторых неизвестных параметров, то есть фактически найти наилучшие значения параметров, максимально приближающие значения к фактическим значениям.

Алгоритмическая часть

В качестве исходных данных имеем значения Y и X заданные таблично (табл.1)

Таблица 1. Исходные данные

Далее выполним расчеты, которые пригодятся нам для подстановки значений в матрицу коэффициентов.

Рисунок 1. Расчеты для дальнейших вычислений

Рисунок 2. Составим матрицу коэффициентов.

Рисунок 3. Составим обратную матрицу с помощью функции«МОБР» в Excel.

Рисунок 4. Умножим каждую строку обратной матрицы на правую часть уравнений матрицы коэффициентов с помощью функции «МУМНОЖ» в Excel и получим коэффициенты уравнения.

Получим функцию: F(Q)=1261,414-1404,58s+351,6468 s²

Рисунок 5. Далее строим график и на нем линию тренда.

Заключение

Использовав метод наименьших квадратов аппроксимировали функцию Q=f(s) заданную таблично многочленом 2-ой степени вида: Q= c+bs+as² . Построили линию тренда и сравнили результаты.

При оценке результатов, можно отметить, что линия тренда отклоняется от самой функции на недопустимые значения. Чтобы увеличить точность линии тренда можно, к примеру, добавить больше значений к исследуемой функции, выбрать большую степень при аппроксимировании или перепроверить входные данные (возможно они были ошибочны).