Применение распределения Пуассона для оценки риска аварий

Оценка степени риска поражения людей и нанесения ущер­ба при авариях связана с задачей прогнозирования показате­лей надежности и остаточного ресурса функционирующей сис­темы. Наиболее важным вопросом является установление допустимых сроков дальнейшей эксплуатации индивидуального объекта при конкретном значении риска аварии. Ответствен­ность за соответствующие инженерные решения о мерах по снижению риска или о приостановке функционирования объ­екта лежит на комиссии, в состав которой должны входить специалисты-эксперты и представители административных ор­ганов.

Одним из основных показателей надежности объекта явля­ется вероятность P(t) безотказной работы на некотором вре­менном интервале или функция надежности. Функция Q(t)= 1- P(t), дополняющая P(t) до единицы и характеризующая вероятность отказа, является функцией риска аварии — поражения людей и нанесения материального ущерба.

Для оценки риска применяют некоторые модели теории на­дежности. Среди них модели высоконадежных систем, для которых аварийные ситуации представляют редкие события, а также модели стареющих систем, качество которых в процессе эксплуатации ухудшается вследствие ползучести, различных видов усталости, износа и других видов повреждений.

Прогнозирование аварийных ситуаций возможно на основе элементарной статистики и дискретного распределения Пуассона, часто применяемого к редким событиям и природным явлениям.

Функцией риска аварии из-за отказа нормального функционирования объекта называют вероятность отказа:

H(t)= 1- P(t), P (t) = exp (- ∫ λ (ξ) d ξ) (8.18)

λ (t) = - P’ (t) / P (t),

где Р(t) – вероятность безотказной работы (функция надежно­сти), λ(t) – интенсивность отказов, равная вероятности того, что после безотказной работы до момента времени t авария произойдет в последующем малом отрезке времени.

Опыт показывает, что после небольшого начального периода эксплуатации (приработки) функция λ(t) длительный период достаточно стабильна, т.е. λ(t)= const. Влияние интенсивного старения за счет коррозионного износа, усталости и других факторов должно исключаться регламентированием допусти­мого срока службы.

Принимая для периода нормального (спокойного) функцио­нирования

λ(t)= const, из (10.1 7.18) получаем экспоненциальное распределение

P(t) =exp(- λτ), (8.19)

причем θ =1/ λ - математическое ожидание срока службы (ресурса) или средняя наработка на отказ. Функцию риска те­перь можно записать в виде

H(t)= 1-exp(-t/ θ). (8.20)

При функции надежности в виде (10.2 8.19) частота отказов в системе однотипных объектов (поток случайных событий) со­ответствует дискретному распределению Пуассона

, N=0,1,2,… λτ > 0. (8.21)

Согласно данной формуле, аварии на временном интервале τ (t, t + τ) произойдут N раз с вероятностью Q(N, λτ), а от­сутствие аварийных ситуаций (отсутствие отказов) - с вероятностью

Q(0,λτ)=exp(-λτ) (8.22)

Вероятность того, что аварии произойдут n разпри n < N (т.е. менее N раз), определяется функцией распределения

Q₀(n<N)= = 1- φ(N,λτ) (8.23)

φ(N, λτ)= Q₀(n≥N)= .

Вероятность возникновения хотя бы одной аварии пред­ставляет оценку риска аварий на объекте в период τ

= 1– Q (0, λτ) = 1- exp(- λτ) (8.24)

Для математического ожидания Ν, дисперсии D и стандар­та (среднеквадратического отклонения) σ имеет место равен­ство N = D = σ ² = λτ, т.е. имеется возможность экспериментальной проверки правдоподобия гипотезы о применимости закона Пуассона к конкретному виду аварии по факту хотя бы приблизительного соблюдения равенства N =D.

Таким образом, прогнозирование аварийных ситуаций воз­можно на основе элементарной статистики. Такого рода дан­ные представляют интерес при принятии решений о мерах по снижению степени риска аварий на объектах.

Значения вероятности аварий Q(N, λτ) для числа N ≤ 5 и риска возможной аварии приведены в таблице 8.7 и на рисунке 8.18

Вероятность N аварий и оценка риска аварийности в зависимости от параметра lτ, согласно распределению

Пуассона

Таблица 8.7

N	0,1	0,2	0,3	0,5	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0
	0,905	0,819	0,741	0,607	0,368	0,135	0,050	0,018	0,007
	0,091	0,164	0,222	0,303	0,368
	0,0045	0,016	0,033	0,076	0,184	0,271
	0,0002	0,0011	0,0033	0,013	0,061	0,180	0,224
		0,0001	0,0003	0,0016	0,015	0,090	0, 168	0,195
				0,0002	0,003	0,036	0,101	0,156	0,176
	0,095	0,181	0,259	0,393	0.632	0,865	0,950	0,982	0,993

Закон Пуассона является частным (предельным) случаем биномиального распределения при большом числе маловероят­ных событий. В связи с этим формулу Пуассона называют законом редких явлений. На рис.8.19 показано распределение Пуассона для нескольких значений λτ, из которого видно, что при больших значениях λτ (λτ ³ 10) распределение приближа­ется к нормальному распределению при μ = σ ² = λτ

(8.25)

Закон Пуассона широко используют на практике: в теории надежности, при проверке качест­ва, при прогнозировании сейсмического риска и др. Закон Пу­ассона применим также к событиям (авариям), разбросанным на площадях. В этом случае параметр λ имеет смысл средней плотности, отнесенной не к временному интервалу, а к неко­торой площади.

1,0	Q
0,8
0,6
0,4
0,2	N=1
					5,λτ

Рис. 8.18 Вероятность аварий и оценка риска аварийности в зависимости от параметра λτ

0,6 Q 0,3 Q

λτ =0,5 λτ =1

0 2 4 N 0 3 6 N

0,2 Q λτ =2 0,15 Q λτ =4

0 3 6 N 0 5 10 N

0,12 Q λτ =8 0,1 Q λτ =10

0 10 20 N 0 10 20 N

Рис. 8.19 Распределение Пуассона для шести значений λτ

Известен пример исключитель­но хорошего согласия с распределением Пуассона реальной статистики падений самолетов-снарядов в южной части Лон­дона в период второй мировой войны. Такое согласие установ­лено при подсчете числа kпадений, приходящихся на каждый из Ν = 576 одинаковых участков территории, каждый площадью S = 0,25 км². При общем числе снарядов Т = 537 число участков Nk, на которое приходилось по k падений (среднее число λS = Т/N - 0,9323), дано в табл. 8.8 в сравнении со значениями вероятностей Р (k; 0,9323), подсчитанных по фор­муле Пуассона.

Сравнение статистики падения самолетов-снарядов с соответствующим распределением Пуассона

Таблица 8.8

Оценку надежности производственных установок и различ­ной аппаратуры, а также обслуживания персоналом можно провести с использованием биноминального распределения подсчетом вероятности как частоты r успешных событий (на­пример, пусков и т.п.) при их общем числе п. Доверительный интервал для фактической вероятности Р_T определяется урав­нением

где - биномиальные коэффициенты; Р - нижняя граница искомой надежности Р_Т; α - достоверность то­го, что фактическая вероятность Р_Т находится в интервале Р...1. Значения вероятности Р_Т при достоверности α= 0,8 приведены в табл. 8.9для трех значений п.

Вероятность успешных (безаварийных) событий с

достоверностью 0,8 при различных значениях r

Таблица 8.9

Рассматривается альтернативный подход с привлечением модели, учитывающей некоторые физические процессы, в предположении, что авария на взрывоопасном объекте возникает в результате на­копления элементарных повреждений у при достижении некоторого предельно-допустимого износа М. Процесс накопления повреждений фиксируется функцией износа η(t). Отказ наступает при условии η(t) ≥ М, и числе элементарных повреж­дений r = М/ у.

Для объектов с высокой однородностью начального качест­ва (обеспечивается жестким контролем качества материалов и технологии производства, что обычно реализуется при изго­товлении труб, сосудов, резервуаров и газгольдеров) расчет вероятности отказа (аварии) возможен с использованием мо­дели монотонно стареющих систем, т.е. с накапливающимися повреждениями, на основе гамма-распределения времени Т функционирования

F (T) =

где Г(r) - гамма-функция, λ = y^-1dM[η(t)]/dt - скорость износа.

Для целых значений rгамма-функция Г(r) = (г - 1)!,

λ - средняя скорость износа и функция распределения гамма-распределения имеет вид

. (8.24)

При r= 1 выражение (10.9) (7.24) соответствует плотности экспо­ненциального распределения (мгновенный выход из строя при однократном повреждении).

8.8.1 Примеры оценки риска аварий.

Пример 8.1. На объекте за 20 лет произошло 4 аварии, т. е. среднее число аварий равно λ = 4 / 20 = 0,2 лет^-1. Тогда за период τ = 2 года две аварии (N = 2) могут произойти с вероятностью:

Q [(2; 0,2 2)] = 0,4 ² exp(-0,4)/2! = 0,054,

а одна авария – с вероятностью Q (1; 0,4) = 0,227.

Вероятность безаварийного функционирования объекта Q (0; λτ) в течение двух лет равна Q (0;0,4) = ехр(-0,4) = 0,67, а в течение одного года Q (0;0,2) = ехр(-0,2) = 0,82, т. е. риск аварийных ситуаций за двухлетний период составит 1- 0,67 = 0,33, а за один год 0,18.

Пример 8.2Средняя скорость износа агрегата с взрывоопасным энерго­носителем λ = 0,02 ч ^{- 1}. Предельное число элементарных повреждений τ = 6. Агрегат функционирует 3 ч в сутки. Определим риск аварий в те­чение недели.

За указанный срок время работы агрегата Т = 7 3 = 21 ч, λТ = 0,42. По формуле (10.9) оценка величины риска:

R (0,42) = 1- exp(-0,42)(1+ 0,42+ 0,42²/2+ 0,42³/6+ 0,42⁴/24+ 0,42⁵/120) = 5,33 10^-6.