Теоремы о вписанных и центральных углах

Углы, связанные с окружностью

Вписанные и центральные углы

Определение 1. Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности (рис. 1).

Рис. 1

Определение 2. Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность (рис. 2).

Рис. 2

Определение 3. Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Фигура	Рисунок	Теорема
Вписанный угол		Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Вписанный угол		Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны
Вписанный угол		Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный угол		Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный угол		Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника		Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около этого треугольника окружности.

1 вариант	2 вариант	3 вариант	4 вариант
1. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 1520. Ответ дайте в градусах.	1. Угол ACO равен 280, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.	1. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 1460. Ответ дайте в градусах.	1. Угол ACO равен 140, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
2. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а дуга меньшая дуга окружности AB, заключенная внутри этого угла, равна 640. Ответ дайте в градусах.	2. Угол ACO равен 460. Его сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину большей дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.	2. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а меньшая дуга окружности AB, заключенная внутри этого угла, равна 370. Ответ дайте в градусах.	2. Угол ACO равен 240. Его сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину большей дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
3. Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 1180 и 380. Ответ дайте в градусах.       4. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.	3. Угол ACB равен 420. Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 1240. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.     4. Найдите хорду, на которую опирается угол 300, вписанный в окружность радиуса 43.	3. Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 1450 и 240. Ответ дайте в градусах.       4. Найдите хорду, на которую опирается угол 200, вписанный в окружность радиуса 3.	3. Угол ACB равен 380. Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 1120. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.     4. Найдите хорду, на которую опирается угол 300, вписанный в окружность радиуса 37.
5. Радиус окружности равен 48. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.	5. Радиус окружности равен 41. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.	5. Радиус окружности равен 36. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.	5. Радиус окружности равен 15. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.
6. Найдите хорду, на которую опирается угол 1200, вписанный в окружность радиуса .	6. Центральный угол на 360 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.	6. Найдите хорду, на которую опирается угол 1200, вписанный в окружность радиуса .	6. Центральный угол на 200 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
7. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности. Ответ дайте в градусах.	7. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 20% окружности. Ответ дайте в градусах.	7. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности. Ответ дайте в градусах.	7. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 30% окружности. Ответ дайте в градусах.
8. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет 2000. А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет 800. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.	8. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.	8. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет 1550. А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет 610. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.	8. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 3:5. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
9. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1:3:5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.	9. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:3:2:6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.	9. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1:8:9. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.	9. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1:2:3:30. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
10. АС и ВD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 380. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.	10. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 1100. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.	10. АС и ВD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 790. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.	10. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 1320. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
11. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 580. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.	11. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 950, 490, 710, 1450. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.	11. Угол B четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 1220. Найдите угол D этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.	11. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 760, 1010, 1060, 770. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
12. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 1050, угол CAD равен 350. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.	12. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 750, угол CAD равен 350. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.	12. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 700, угол CAD равен 490. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.	12. . Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 390, угол CAD равен 550. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
13. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 1100, угол ABD равен 700. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.	13. Стороны треугольника АВ, ВС и АС стягивают дуги градусные величины которых соответственно относятся как 24:7:5. Найдите величину большего угла треугольника. Ответ дайте в градусах.	13. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 1200, угол ABD равен 430. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.	13. Стороны треугольника АВ, ВС и АС стягивают дуги градусные величины которых соответственно относятся как 22:8:6. Найдите величину большего угла треугольника. Ответ дайте в градусах.
14. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 820 и 580. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.	14. Найдите хорду, на которую опирается угол 900, вписанный в окружность радиуса 1.	14. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 640 и 720. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.	14.Найдите хорду, на которую опирается угол 900, вписанный в окружность радиуса 3.
15. Хорда AB стягивает дугу окружности в 920. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.	15. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 320. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.	15. Хорда AB стягивает дугу окружности в 840. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.	15. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 480. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.
16. Через концы A, B дуги окружности в 620 проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.	16. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 1220. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.	16. Через концы A, B дуги окружности в 580 проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.	16. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 1360. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.