Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Волновое уравнение. В предыдущем параграфе мы рассмотрели математическую сторону волнового уравненияВ предыдущем параграфе мы рассмотрели математическую сторону волнового уравнения. В этом же параграфе я хотел бы на конкретном примере рассмотреть как работает тот математический аппарат. Рисунок 4 Применим второй закон Ньютона и закон сложения сил к движению куска стержня, заключенного между двумя плоскостями x и х+ х. Масса этого куска равна р0S0 х, где р0 и S0 – соответственно плотность и сечение в отсутствие деформации. Пусть – смещение центра тяжести рассматриваемого куска. Тогда
слева стоит произведение массы куска на ускорение д2 / дt2 его центра тяжести, справа – результирующая внешних сил, действующая на кусок. Разделим уравнение на S0 : (2.7) Перейдя к пределу при , получим уравнение (2.8) справедливое в каждой точке стержня. Оно указывает, что ускорение данной точки пропорционально частной производной напряжения по ж в этой точке.
Подставляя в (2.8) соотношение (2.7), получим: (2.9)
Вспомнив теперь формулу, содержащую определение деформации, и подставив ее в (2.9), получаем:
(2.10) Это—волновое уравнение. Оно указывает, что смещение распространяется но стержню в виде волн (2.11) или образует суперпозицию таких волн. Скорость распространения этих волн (скорость звука в стержне) (2.12) (мы опускаем для краткости индекс 0 у р). Эта скорость тем больше, чем жестче и чем легче материал. Формула (2.12)—одна из основных формул акустики. Наряду со смещением нас интересуют скорость v = , с которой .движутся отдельные плоскости х = const (не смешивать с u), деформация инапряжение . Дифференцируя (2.11)по t и но x,получаем: v= uf’(x ut) (2.13a) =f'(x ut), (2.13б) =Ef’ (x ut). (2.13в) Таким образом, смещение, скорость, деформация и напряжение распространяются в виде связанных определенным образом между собой недеформирующихся волн, имеющих одну и ту же скорость и одинаковое направление распространения. На рис. 5 показан пример «моментальных снимков», относящихся к одному и тому же моменту времени, смещения, деформации и скорости в одной и той же упругой волне. Там, где смещение имеет максимум или минимум, деформация и скорость равны нулю, так как они обе пропорциональны производной f'{x ut). Физическая интерпретация здесь очевидна: около максимума или минимума смещения соседние (бесконечно близкие) точки одинаково смещены и, следовательно, нет ни растяжения, ни сжатия; в тот момент, когда смещение достигает максимума (минимума), его возрастание сменяется убыванием (или наоборот). Сравнивая формулы (2.13а), (2.13в) и принимая во внимание (2.12) мы видим, что (2.14) где (2.15) есть величина, не зависящая от вида функции f и целиком определяемая свойствами материала. Эта величина называется удельным акустическим сопротивлением материала. Она является, как мы видим, наряду с u его важнейшей акустической характеристикой. Название величины связано с формальной аналогией между уравнениями (2.14) и законом Ома (р аналогично разности потенциалов, v - силе тока). № 2. Упругие волны в газах и жидкостях
|