Аппроксимация системой функций. Функция невязок

Другой подход к построению приближенного решения заключается в аппроксимации (приближении) решения системой заданных функций. При использовании этого подхода приближенное решение ищется в виде линейной комбинации:

(17)

Здесь волна над буквой напоминает, что формулой (17) определяется не точное решение, а приближенное. ‑ некоторая функция, удовлетворяющая граничным условиям задачи, то есть и . Наиболее простым и вполне корректным выбором для задачи (1) будет .

В качестве функций разложения здесь будем использовать:

(18)

То есть используются степенные функции. Обычная система функций в (18) несколько изменена, поскольку функции должны удовлетворять однородным граничным условиям.

Возникает вопрос: каким образом найти такие коэффициенты в (17), чтобы это приближенное решение было близко к точному? Иллюстрация к этой задаче приведена на рисунке 6. На этом схематическом рисунке изображена возможная ситуация. Пусть точному решению соответствует сплошная линия, а приближенному – пунктирная. Как видно на рисунке, возможна ситуация когда приближенное решение в основном близко к точному, но отличается в небольших областях. Очевидно, что такое приближенное решение использовать нельзя. Таким образом, необходим, такой подход, который обеспечить хорошее соответствие точного и приближенного решений во всей области.

Возможных рецептов для решения такой задачи довольно много, но все они опираются на понятие функции невязок. Не ограничиваясь частным случаем (1), введем это понятие для произвольного дифференциального уравнения 2-го порядка. В самом общем случае такое уравнение имеет вид:

(19)

Для уравнения (1) . Определение (19) можно трактовать таким образом: ‑ это такая функция, которая обращается в тождественный ноль по всей области решения, если вместо в нее подставить точное решение дифференциального уравнения.

Если же в функцию подставить на точное решение, а приближенное (см (17)), то очевидно, что точного равенства нулю этой функции на всем интервале не будет. Хотя для хорошего приближения отличие от нуля должно быть небольшим. Собственно говоря, именно эту функцию с подставленным в нее приближенным решением и принято называть функцией невязок:

(20)

Обратите внимание, что если рассматривать приближенное решение (17) как функцию с заданными значениями , то функция невязок является функцией одной переменной . Если же величины неизвестны, их только предстоит определить, то функция невязок, является функцией нескольких переменных .