Метод конечных разностей

Лекция 5

Метод конечных разностей. Аппроксимация системой функций. Метод наименьших квадратов

Метод конечных разностей

Начнем с рассмотрения уже известного нам метода конечных разностей. Напомним, что при использовании этого метода, область решения разбивается на равные отрезки (рис.4)

Для каждой внутренней точки разбиения уравнение (1) записывается приближенно, то есть вместо производной записываем ее конечно-разностную аппроксимацию . С учетом граничных условий , получим систему линейных уравнений:

(16)

Решение этой системы в сравнении с точным решением приведено в таблице 1 и на рис.5

Таблица 1

Как видно из этих результатов, приближенное решение, несмотря на довольно грубое разбиение (область решения разбита всего на четыре отрезка), довольно близко к точному. При измельчении разбиения точность решения, разумеется повысится. Так при разбиении области не на четыре а на восемь отрезков значение приближенного решения при будет -0.1025334. То есть погрешность снижается примерно в пять раз.