Интегрирование тригонометрических функций

1°. Интегралы вида

находятся с помощью тригонометрических формул

2°. Интегралы вида

где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени

Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)

Примеры.

3°. Если m = -m, n = -l - целые отрицательные числа одинаковой четности, то

В частности, к этому случаю сводятся интегралы

Примеры.

4°. Интегралы вида

где R - рациональная функция от sinx и cosx, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью подстановки

при этом

Если R{-sin x, cosx) = R(sinx, cosx), то целесообразно применить подстановку tgx = t. при этом

Примеры.

Здесь подынтегральная функция является рациональной функцией от sinx и cosx. Применяем подстановку


Подынтегральная функция не меняется от замены sinx на (-sinx), cosx на (-cosx), то есть R(-sinx,cosx) = R(sinx,cosx). Применим подстановку tgx = t: