Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Решить неопределенный интеграл – это значит ПРЕВРАТИТЬ его в определенную функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.Возьмем, например, табличный интеграл . Что произошло? превратился в функцию . Как и в случае с производными, для того, чтобы научиться находить интегралы, не обязательно быть в курсе, что такое интеграл, первообразная функция с теоретической точки зрения. Достаточно просто осуществлять превращения по некоторым формальным правилам. Так, в случае совсем не обязательно понимать, почему интеграл превращается именно в . Можно принять эту и другие формулы как данность. Все пользуются электричеством, но мало кто задумывается, как там по проводам бегают электроны. Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найдена правильно, справедливо следующее: Иными словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция. Вернемся к тому же табличному интегралу . Убедимся в справедливости данной формулы. Берем производную от правой части: – исходная подынтегральная функция. Вот, кстати, стало понятнее, почему к функции всегда приписывается константа . При дифференцировании константа всегда превращается в ноль. Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию. В рассматриваемом табличном примере , , , и т. д. – все эти функции являются решением интеграла . Решений бесконечно много, поэтому записывают коротко: Таким образом, любой неопределенный интеграл достаточно легко проверить (в отличие от производных, где хорошую стопудовую проверку можно осуществить разве что с помощью математических программ). Это некоторая компенсация за большое количество интегралов разных видов. Переходим к рассмотрению конкретных примеров. Начнем, как и при изучении производной, с двух правил интегрирования: – константу можно (и нужно) вынести за знак интеграла. – интеграл суммы двух функций равен сумме двух интегралов. Данное правило справедливо для любого количества слагаемых. Как видите, правила, в принципе, такие же, как и для производных. Иногда их называют свойствами линейности интеграла. Пример 1 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Решение: Удобнее переписать его на бумагу. (1) Применяем правило . Не забываем записать значок дифференциала под каждым интегралом. Почему под каждым? – это полноценный множитель, если расписывать решение совсем детально, то первый шаг следует записать так: (2) Согласно правилу выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом – это константа, её также выносим. ! Примечание: в отличие от производных, корни в интегралах далеко не всегда следует приводить к виду , а степени переносить вверх. Например, – это готовый табличный интеграл, и всякие китайские хитрости вроде совершенно не нужны. Аналогично: – тоже табличный интеграл, нет никакого смысла представлять дробь в виде . Внимательно изучите таблицу! (3) Все интегралы у нас табличные. Осуществляем превращение с помощью таблицы, используя формулы: , и . Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ: Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно. От чего плясали, к тому и вернулись. Знаете, очень хорошо, когда история с интегралом заканчивается именно так. Время от времени встречается немного другой подход к проверке неопределенного интеграла, от ответа берется не производная, а дифференциал: Получено исходное подынтегральное выражение, значит, интеграл найден правильно. Второй способ проверки мне нравится меньше, так как приходится дополнительно рисовать большие скобки и тащить значок дифференциала до конца проверки. Хотя он корректнее или «солиднее» что ли. На самом деле я вообще мог умолчать о втором способе проверки. Дело не в способе, а в том, что мы научились раскрывать дифференциал. Еще раз. Дифференциал раскрывается следующим образом: 1) значок убираем; Например: Запомните это. Рассмотренный приём потребуется нам очень скоро. Пример 2 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока. Когда мы находим неопределенный интеграл, то ВСЕГДА стараемся сделать проверку, тем более, для этого есть прекрасная возможность. Далеко не все типы задач в высшей математике является подарком с этой точки зрения. Неважно, что часто в контрольных заданиях проверки не требуется, её никто, и ничто не мешает провести на черновике. Исключение можно сделать лишь тогда, когда не хватает времени (например, на зачете, экзамене). Лично я всегда проверяю интегралы, а отсутствие проверки считаю халтурой и некачественно выполненным заданием. Пример 3 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Решение: Анализируя интеграл, мы видим, что у нас произведение двух функций, да еще и возведение в степень целого выражения. К сожалению, на поприще интегральной битвы нет хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного , . А поэтому, когда дано произведение или частное, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли преобразовать подынтегральную функцию в сумму? Рассматриваемый пример – тот случай, когда можно. Сначала я приведу полное решение, комментарии будут ниже. (1) Используем старую - добрую формулу квадрата суммы , избавляясь от степени. (2) Вносим в скобку, избавляясь от произведения. (3) Используем свойства линейности интеграла (оба правила сразу). (4) Превращаем интегралы по табличной формуле . (5) Упрощаем ответ. Здесь следует обратить внимание на обыкновенную неправильную дробь – она несократима и в ответ входит именно в таком виде. Не нужно делить на калькуляторе ! Не нужно представлять ее в виде ! Проверка: Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно. В ходе проверки функцию всегда желательно «упаковать» до первоначального вида, вынося в данном случае за скобки и применяя формулу сокращенного умножения в обратном направлении: Пример 4 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока. Пример 5 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить? Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле – не воин, а значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель: Действия с дробными степенями я не комментирую, так как о них неоднократно шла речь в статьях о производной функции. Если Вас все-таки ставит в тупик такой пример, как , и ни в какую не получается правильный ответ , то рекомендую обратиться к школьным учебникам. В высшей математике дроби и действия с ними встречаются на каждом шагу. Также обратите внимание, что в решении пропущен один шаг, а именно, применение правил , . Обычно при определенном опыте решения интегралов данные правила считают очевидным фактом и не расписывают подробно. Пример 6 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Это пример для самостоятельного решения. Метод замены в неопределенном интеграле. Дело в том, что подведение функции под дифференциал или метод замены переменной является ключевым моментом в изучении темы, поскольку встречается не только «в чистых заданиях на метод замены», но и во многих других разновидностях интегралов. Решения и ответы: Пример: Решение:
Пример: Решение:
В данном примере мы использовали формулу сокращенного умножения Пример: Решение:
1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. 2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е. 3°. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то 4°. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности. Таблица основных интегралов
|