Расчет траектории полета частиц сена после схода их с транспортера

На рис. показана траектория полета частицы М сена после схода её с транспортера. Расстояние ОС изменяется в зависимости от скорости транспортера и машины: чем эти скорости, тем больше опасность, что сено не попадет в емкость. Поэтому важно определить расстояние ОС и сравнить его с размерами емкости.

Начало координат поместим на плоскость, которая ограничивает высоту емкости, так, чтобы ось OZ проходила через конец транспортера, когда начинается свободный полет частицы сена.

На частицу сена помещенную в точку М, действуют силы:

- сила тяжести; Р - сила бокового давления ветра, которую полагаем величиной постоянной; – сопротивление воздушной среды при падении сена, пропорциональное его скорости (здесь k – коэффициент пропорциональности; m – масса частицы, V – скорость частицы).

Дифференциальные уравнения движения частицы сена в проекциях на прямоугольные оси координат имеют вид:

(1)

Проекции скорости точки М на оси координат получим, взяв первый интеграл уравнений (1):

Интегрируя, получим:

, где .

Постоянные интегрирования найдем из начальных условий:

а) При тогда

б) При где V_T – скорость транспортера; α – угол наклона транспортера. Тогда .

в) При . Тогда .

Следовательно, искомые скорости т. М в проекциях на оси координат будут:

(2)

Найдем теперь перемещение т. М в проекциях на оси координат, проинтегрировав выражения (2) при тех же начальных условиях:

(3)

Искомое расстояние ОС найдется по формуле , где - координаты т. С.

Эти координаты, в свою очередь можно определить, если подставить в уравнение (3) вместо t время t_C падения порции сена в верхнюю часть емкости, т. е. время полета частицы сена от транспортера до точки С.

Это время t_C можно найти, положив в третьем уравнении системы (3) (для т. С). Но здесь прежде нужно разложить в ряд:

(Этот ряд очень быстро сходится)

Тогда:

Следовательно:

Отсюда:

И, наконец, искомое значение

Расстояние ОС не должно превышать размеры (по диаметру) емкости. В противном случае порции сена не будут попадать в емкость.