Дисперсия и абсорбция света

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА

Световая волна в вакууме есть перпендикуляр электромагнитной высокой частоты, , не зависящей от частоты.

Араго наблюдая излучение от звезды Алколь установил, что разность между скоростью распространения красного и фиолетового излучения меньше . Это и другие эксперименты показали отсутствие дисперсии света в космосе. Для обычных сред свет испытывает изменение скорости (рефракция или преломление), для разных частот скорость в средах будет различной, то есть имеем зависимость показателя преломления от частоты (длины волны) – это называется дисперсией света.

Важнейшим выводом теории Максвелла являются положения:

1. скорость распространения электромагнитного поля в вакууме равняется отношению электромагнитных и электростатических единиц силы тока;
2. показатель преломления электромагнитных волн равен .

Для целого ряда , однако для многих других тел (стекла; жидкостей – вода, спирт) . Например, для воды , а . Эти трудности в объяснении устраняются с помощью электронной теории, которая дает молекулярное истолкования феноменологическим параметрам и и объяснившей одновременно влияние частоты электромагнитного поля на и, следовательно на . [Лоренц, XIX – XX вв]

Ньютон (1672 г.) опроверг выводы классической электромагнитной теории света, что путем эксперимента. Из опыта следует, что при одинаковых призм из воды и сероуглерода (от красных до фиолетовых лучей) в раз длиннее, чем для воды. Следовательно величины и различны для различных сред (Ньютон ошибочно считал их одинаковыми).

Рис.1. Зависимость показателя преломления от длины волны (Ньютон). Метод «скрещенных призм»

Исследуя показатель преломления для различных длин волн можно выявить дисперсионную способность вещества . Эта зависимость может быть весьма сложной. Перу (1862 г), наблюдая преломление в парах йода, обнаружил,

что синие лучи преломляются меньше, чем красные – то есть с уменьшением длины волны показатель преломления уменьшается – аномальная дисперсия , а при увеличении показателя преломления при уменьшении длины волны – нормальная дисперсия . Кунд установил, что аномальная дисперсия тесно связана с поглощением (красители фуксин, цианин и другие)

Рис.2. Вид спектра, получаемого по методу скрещенных призм

Рис.3. в цианите

Знаменитый математик Коши, исходя из представлений Френеля, получил формулу

, (1)

где – длина волны в вакууме, , и – постоянные, определяемые экспериментально.

Формула Рэлея построена на понятии аномальной дисперсии, которая связывает групповую скорость и фазовую скорость распространения электромагнитных волн

, ,

где – скорость распространения фазы волны.

Тогда для плоской волны или или .

Следовательно

или .

Групповая скорость – скорость волнового пакета как целое.

Тогда

,

где и .

Тогда получаем

– формула Рэлея

1. Если , то есть . Следовательно, дисперсия отсутствует .
2. Если , то (в стекле и т.п.). и следовательно,

, так как , следовательно, показатель преломления уменьшается с увеличением длины волны – нормальная дисперсия.

1. Если , то . В этом случае

– показатель преломления возрастает с увеличением длины волны и называется аномальной дисперсией.

Следовательно,

– нормальная дисперсия,

– аномальная дисперсия.

Экспериментальное исследование дисперсии проводится с помощью тех же методов и для измерения показателя преломления . Для повышения точности измерения используют интерферометр и спектрограф с призмой или дифракционной решеткой. Рассмотрим исследования проведенные Д.С.Рождественским (Рис.4)

Для исследования дисперсии в парах натрия.

– электрическая дуга

и – зеркала, пропускающие 50% падающего света и отражают 50%.

и – зеркала, отражающие 100%

и – трубки одинаковой длины.

– дифракционная решетка, – щель спектрографа. Спектр, пересеченный темными полосами, получается на фотопластинке .

Если на пути одного из лучей в интерферометре ввести слой вещества толщиной с показателем преломления , то между парами возникает дополнительная разность хода , так как в другом плече воздух, следовательно интерференционные полосы сместятся вдоль щели спектрографа, и полоса нулевой разности хода, которая раньше занимала положение , сместится на расстояние . Следовательно, нулевая полоса будет давать кривую дисперсии .

Из опыта Рождественского известно, что вблизи линии поглощения быстро изменяется с изменением длины волны. Им был разработан специальный метод «крюков Рождественского». На пути одного из лучей ставят стеклянную пластинку С с толщиной h и дисперсией . Из-за этого разность хода сильно увеличивается и наблюдается интерференция высокого порядка. Полосы сильно наклонены к оси спектра. Вблизи полосы поглощения дисперсия изменяется очень сильно, поэтому всегда найдется такая длина волны (или частота) для которой действие стеклянной пластинки будет точно скомпенсировано действием исследуемого вещества. В этом месте наклон интерференционных полос пройдет через нуль. Слева от этого значения длины волны кривые падают, а справа поднимаются (или наоборот). Такие максимумы и минимумы имеют вид «крюков», положение вершин которых можно точно определить (Рис. 5).

	, где – показатель преломления стекла (С), – толщина стекла (С). Экстремум . Тогда   Зная характеристики стеклянной пластинки и толщину исследуемого слоя в Т1,
Рис.5.

можно определить дисперсию исследуемого вещества при данном значении , которое соответствует положению вершины крюка. Изменяя толщину стекла можно найти весь спектр поглощения.

УРАВНЕНИЕ ДИСПЕРСИИ

После открытия аномальной дисперсии и установлении ее связи с абсорбцией Зельмейер (1871г.) в своей теории допустил, что молекулы обладают собственными частотами колебаний, характерными для данного вещества, благодаря чему получило объяснение наличие определенных полос (линий) поглощения. Оказалось возможным связать скорость света (с) в веществе с другими параметрами вещества, с собственными периодами колебаний его молекул. Электронное истолкование дисперсии с использованием понятия собственных колебаний атомов установило природу колеблющихся частиц (электроны «е» и ионы «i»).

Сущность взаимодействия света и вещества сводится к интерференции падающей (первичной) волны со вторичными волнами, возникающими вследствие колебаний электронов (ионов) вещества, обусловленных действием поля первичной волны. Отметим, что первичная волна не заменяется суммой вторичных волн (как в дифракции), а взаимодействует с ними.

Для получения зависимости необходимо найти вектор поляризации , создаваемый полем световой волны . Затем вычислить вектор электрической индукции

и определяют диэлектрическую проницаемость среды с учетом , получают искомую зависимость .

Будем считать, что в каждом атоме имеется один оптический электрон с зарядом . Вектор напряженности электрического поля световой волны воздействует на электроны с силой

– вынуждающая сила.

Не будем учитывать действия полей создаваемых всеми другими электронами (концентрация N – мала). Электрон удерживается в атоме квазиупругой силой ( – смещение электронов), частота собственных колебаний гармонического осциллятора

для ионов .

Рассмотрим оптический диапазон спектра (инфракрасные, видимые и ультрафиолетовые лучи). В этом случае в кубе с ребром порядка длины волны содержится достаточное количество излучаемых атомов. Поляризация вещества определяется как

.

Затухание колебаний учтем через тормозящую силу равную , коэффициент затухания равный .

Тогда

, (2)

где , .

(3)

, ,

тогда , .

Следовательно

, (4)

и

Следовательно

(5)

Формула (5) показывает зависимость от , что объясняет дисперсию света. Диэлектрическая проницаемость (и показатель преломления) – величина комплексная. При , получаем диэлектрическую проницаемость как вещественную величину, то есть поглощения электромагнитной волны нет

Рис.6.

. (6) Из рис.6 следует, что показатель преломления возрастает с ростом за исключением – точка разрыва. Следовательно имеем – нормальная дисперсия. для всех прозрачных сред в видимой области спектра поглощение отсутствует, а для ультрафиолета

начинается сильное поглощение электромагнитной волны. Для всей видимой части спектра (вдали от линии поглощения), то есть левая часть (а) кривой. Иными словами, частота собственных колебаний осциллирующего электрона соответствует ультрафиолетовой области спектра

, если .

Положив можно разложить в ряд по степеням :

(7)

Заменяя , а . Из выражения (7) получаем

, (8)

где , . (9)

Уравнение (8) совпадает с уравнением Коши и, следовательно, можно проверить уравнение (6) и наблюдать на опыте зависимость . Используя можно сравнить теоретические и экспериментальные постоянные и (В/А не зависит от ). Следует помнить, что уравнение (5) получено без учета воздействия окружающих электронов, следовательно, справедливо для разреженных газов, или если концентрация излучающих центров невелика.

При большой плотности – формула Лорентц-Лоренца (Формула Клаузиса-Мосоти)

(10)

Из формулы (10) следует, что не должно зависеть от плотности исследуемого вещества.

– удельная рефракция вещества, (11)

где – плотность вещества, пропорциональная .

Формула (10) описывает зависимость в случае жидкостей и твердых тел (так как большое). При уменьшении давления в среде его показатель преломления стремится к единице и выражение (10) переходит в формулу (6).

Поскольку в веществе может быть несколько сортов зарядов с массами и концентрацией способных к колебаниям с различной собственной частотой , то уравнение (6) следует заменить уравнением

. (12)

Число собственных частот соответствует числу полос поглощения в коротковолновой части спектра.

(13)

– разрешенные переходы в атоме

– сила осциллятора (вместо квазиупругой силы), порядка интенсивности спектральной линии.

– вероятность перехода, характеризующий скорость распада возбужденного состояния.

Из уравнения (6) следует, что дисперсия рентгеновских лучей (Рис.6б) и можно рассчитать фазовую скорость радиоволн в ионосфере (плазме).

Тогда и из уравнения (6) получаем

(14)

Из уравнения (14) следует, что , так как очень большая, при переходе рентгеновских лучей из воздуха в стекло можно наблюдать полное внутреннее отражение.

Распространение радиоволн (НЧ волн) в ионосфере с длиной волны , где – постоянная, . Ионосфера – плазма – ионизированный газ – излучающие электроны не связаны , следовательно и для свободных электронов будет удовлетворять даже в области НЧ колебаний.

, (15)

С увеличением показатель преломления и распространение УКволн () ионосфера уже не влияет. Они свободно ее проходят, не преломляясь в ней и не отражаясь от ее границ. Удобно с использованием УКВ зондировать (радиолокация) Луну и т.п. Для достаточно длинных волн показатель преломления является мнимой величиной, следовательно, плазма непрозрачна и, следовательно, полное отражение ,

.

Для НЧ волн:

,

(17)

Следовательно, выполняется для ионосферы при условии .

Рассмотрим учет ионов на примере молекулы , валентность каждого иона равна единицы и его заряд равен заряду электрона.

для электрона ,

для иона ,

(18)

– приведенная масса, состоящая из масс

ионов различных знаков, составляющих молекулу.

смещение в поле световой волны

(20)

где , , .

(21)

так как

. (22)

Тогда и электронные полосы лежат в ультрафиолетовой области спектра, а полосы поглощения ионов в инфракрасной его области.

Для получаем (23)

в далекой инфракрасной области спектра. Следовательно, в этом приближении главную роль играет отсутствие и присутствие в спектре вещества инфракрасных полос поглощения, так как член в уравнении (23) часто вносит основной вклад в . Отсюда получаем , а можно сопоставить с наличием в спектре воды интенсивных полос поглощения в ближней инфракрасной области.

Так как в общем случае оказывается комплексной величиной, то показатель преломления – комплексное число.

(24)

Разделим мнимую и вещественную части и получим и (коэффициент поглощения):

.

Тогда

, (25)

Рис.8

1. При , , – максимум, который с увеличением быстро убывает. – максимально при минимальном . – ширина возрастает с ростом . 2. График есть зависимость при и . принимает максимальные и минимальные значения вблизи и

Чтобы их определить необходимо найти экстремумы . Расстояние между экстремумами равно функции (затухание ).

Сравнивая Рис.6 и Рис.8 видно, что кривая с разрывом () трансформировалась в кривую – дисперсионная кривая. Математически эта операция эквивалента – особая точка

, (26)

которая при получаем (гипербола).

На участке : – убывает, а – растет и после перехода – линии поглощения , следовательно, (формула Рэлея не работает).

Эксперименты С.И.Вавилова показывают, что в слое малой толщины поглощается определенная часть падающего света , следовательно

- уравнение Бугера (27)

где – коэффициент поглощения не зависящий от интенсивности света .

Рис. 9. Резонансная характеристика поглощения от . () – дублет, () – триплет

Спектры жидких и твердых тел дают широкие полосы. В случае смеси газов поглощение обычно пропорционально концентрации и зависит от свойств молекул . Тогда получаем   (28) Формула (28) – формула Бугера-Беера С помощью уравнений (27) и (28) можно точно воспроизвести анализ молекулярного состава вещества по спектру их поглощения.