Теорема о существовании равнодействующей сходящихся сил

Силы называются сходящимися, если линии их действия пересекаются в одной точке.

Теорема

Система сходящихся сил имеет равнодействующую, которая равна геометрической сумме этих сил и проходит через точку пересечения их линий действия.

Доказательство:

Перенесем все силы по линии действия в точку пересечения. Последовательно складывая по аксиоме 3:

, и т.д., находим . Теорема доказана.

Теорема о трех силах

Теорема

Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Т.к. силы не параллельны, то . По условию , следовательно, и сила проходит через точку С. Теорема доказана.

Лемма Пуансо

Лемма

Не изменяя действия силы на твердое тело, ее можно переносить параллельно самой себе в любую точку тела, добавляя при этом пару, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Доказательство:

К телу в точке А приложена сила .

Добавим в точке В уравновешенную систему сил:

, такую, что , тогда

.

– пара сил с моментом .

Лемма доказана.

Основная теорема статики (теорема Пуансо)

Теорема

Произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы и пары сил. Сила равна главному вектору системы сил и приложена в произвольно выбранной точке (центре приведения), момент пары равен главному моменту системы сил относительно этой точки.

Доказательство:

Точка O – центр приведения. По лемме Пуансо перенесем силу в точку O: , .

Аналогично перенесем все остальные силы. , .

В результате получим систему сходящихся сил и систему пар сил. По теореме о существовании равнодействующей системы сходящихся сил их можно заменить одной силой , равной главному вектору. Систему пар по теореме о сложении пар можно заменить одной парой, момент которой равен главному моменту .

Теорема доказана.

Теорема Вариньона

Теорема

Если система сил имеет равнодействующую, то ее момент относительно любого центра (или оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно того же центра (или оси).

Доказательство:

, пусть O₁ - точка на линии действия равнодействующей. Как было доказано: , но , следовательно, .

В проекции на ось, проходящую через центр O, .Теорема доказана.