Свойства гамма-распределения.

1. Если - независимые случайные величины, такие что ~ то ~ .

2. Если ~ , и - произвольная константа, то ~ .

Распределение . Данное распределение является частным случаем гамма-распределения

Распределение с степенями свободы - это распределение суммы квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин.

Пусть - совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть ~ . Тогда случайная величина имеет распределение с степенями свободы.

Найдем плотность распределения , используя технику производящих функций. Плотность распределения стандартной нормально распределенной случайной величины имеет вид

Используя определение производящей функции, получаем для случайной величины

Поскольку - совместно независимые случайные величины, получаем производящую функцию для случайной величины

Выпишем теперь производящую функцию для гамма-распределения

сделаем замену

тогда

.

Очевидно, что при значении параметров производящая функция гамма-распределения совпадает с полученным ранее выражением для производящей функции распределения .

Подставляя найденные значения параметров в выражение для плотности распределения гамма-распределения, получаем плотность распределения .

Таким образом, плотность распределения имеет вид