Метод Ньютона для системы двух уравнений

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Э. БАУМАНА

Отчет по лабораторной работе

по курсу “Численные методы”

Решение систем нелинейных алгебраических

уравнений методом Ньютона»

Выполнил:

Студент группы РК6-43

Корчагина А.И.

Проверил:

Доцент кафедры ФН-1

Храпов П.В.

Москва, 2011

Теоретическая часть

Метод Ньютона для нелинейного уравнения

Для решения нелинейного уравнения f(x)=0 по методу Ньютона используется итерационный процесс:

где x⁽⁰⁾ - некоторое начальное приближение к корню

При этом предполагается, что f '(x) ≠ 0 на отрезке [ a,b ].

Геометрический вывод формулы.

Геометрически итерационный процесс метода Ньютона означает замену на k -той итерации графика функции y=f(x) на касательную к этой функции в точке (x^(k), f(x^(k))) (в связи с этим метод также иногда называется методом касательных). Уравнение касательной имеет вид y=f '(x^(k))(x-x^(k))+f(x^(k))

Найдем точку пересечения с осью OX этой касательной (вместо функции y=f(x)), что соответствует нахождению решения линейного уравнения: f '(x^(k))(x-x^(k))+ f(x^(k))=0 вместо нелинейного f(x)=0.

Выражая x, получаем: x = x^(k) - f(x^(k))/f '(x^(k)) ≡ x^(k+1)

Аналитический вывод формулы.

Рассмотрим уравнение f(x)=0, X - его корень, x^(k) - k -ое приближение к корню. Тогда по теореме Лагранжа о средних значениях имеем: 0 = f(X) = f(x^(k)) + (X - x^(k))f '(c_k),

где c_k ∈ (X, x^(k)).

Заменяя f '(c_k) на значение f '(x^(k)) (то есть используя предыдущее приближение к корню) приходим к приближенному равенству 0 ≈ f(x^(k)) + (X - x^(k))f '(x^(k)).

Откуда получаем X ≈ x^(k) - f(x^(k))/f '(x^(k)) ≡ x^(k+1)

Метод Ньютона для системы двух уравнений

Рассмотрим систему двух уравнений

Алгоритм решения системы по методу Ньютона задается формулами:

,

где

(x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾) - некоторое начальное приближение к корню.

Реализация дифференцирования уравнений системы выполнена методом конечных разностей.

где – элементарное приращение аргумента

Аналитическое решение

1)

(a)

2)

(б)

Возведем (а) и (б) в квадрат:

Ответ:

Графическое решение

Текст программы

# include <iostream>

# include <cmath>

using std::cout;

using std::endl;

const double EPS = 1E-6;

const double dx = 1E-5;

const double dy = 1E-5;

inline double f1(double x, double y)

{

return 2.0 * x * x + x * y - y * y - 20.0;

}

inline double f2(double x, double y)

{

return x * x - 4.0 * x * y + 7.0 * y * y - 13.0;

}

int main(void)

{

double x[2] = { 3.5 * 10, 2.5 * 10 };

double xn[2] = { x[0], x[1] };

static unsigned count = 0;

cout.precision(12);

cout << "i\tx\t\ty" << endl;

do

{

if (count > 0)

{

xn[0] = x[0];

xn[1] = x[1];

}

double f[2] = { f1(x[0], x[1]), f2(x[0], x[1]) };

double a = f1(x[0] + dx, x[1]) - f1(x[0], x[1]);

a /= dx;

double b = f1(x[0], x[1] + dy) - f1(x[0], x[1]);

b /= dy;

double c = f2(x[0] + dx, x[1]) - f2(x[0], x[1]);

c /= dx;

double d = f2(x[0], x[1] + dy) - f2(x[0], x[1]);

d /= dy;

double df[2][2] = { { a, b }, { c, d } };

double det_df = a * d - b * c;

double det_1 = 1.0 / det_df;

double df_inv[2][2] = { { d, -b }, { -c, a } };

x[0] = xn[0] - det_1 * (df_inv[0][0] * f[0] + df_inv[0][1] * f[1]);

x[1] = xn[1] - det_1 * (df_inv[1][0] * f[0] + df_inv[1][1] * f[1]);

cout << ++count << '\t' << x[0] << '\t' << x[1] << endl;

getchar();

} while(fabs(x[0] - xn[0]) > EPS || fabs(x[1] - xn[1]) > EPS);

cout << "Num of iterations: " << count << endl

<< "Result:" << endl

<< "x = " << x[0] << endl

<< "y = " << x[1] << endl;

getchar();

return 0;

}

Результаты

Newton's Method