Графический анализ чувствительности

В действительности исходные данные для модели не только определяются с некоторой погрешностью, но и изменяются по различным причинам. Конечно, всегда можно, изменяя отдельные параметры, рассчитать серию вариантов, чтобы оценить их влияние на оптимальное решение. Такой прием, как правило, полезен на заключительном этапе анализа задачи, но простой перебор вариантов не лучший способ анализа ситуации.

Рассмотрим, основываясь на графическом решении, основные идеи анализа чувствительности. Определим, как влияют изменения величин коэффициентов целевой функции и правых частей ограничений на оптимальное решение. Пусть задана линейная модель следующего вида:

.

При построении удобно нумеровать все заданные ограничения. Тогда легко проверять правильность построения как линий, так и области допустимых решений (см. рис. 2.9).

Рис. 2.9

После построения вектора , перемещая перпендикулярную к нему линию фиксированных значений функционала, найдем, что искомые экстремумы достигаются в точках:

A (4; 12), Z _max = 120 и E (1,8; 5,3), Z _min = 49,4.

Очевидно, что эти точки останутся экстремальными и в некотором диапазоне изменения вектора градиента. Изменение модуля этого вектора влечет только пропорциональное изменение величин функционала и не влияет на координаты точек экстремума. Поэтому задача определения чувствительности решения по отношению к коэффициентам целевой функции сводится к определению интервала изменения отношения , для которого остается неизменной рассматриваемая точка экстремума.

Пусть , тогда любое увеличение (уменьшение ) приведет только к повороту вектора градиента против часовой стрелки, что не повлияет на положение точки максимума. Однако как только этот вектор станет перпендикулярен прямой DE (третье ограничение), а это произойдет, если , все точки этого отрезка будут обеспечивать минимальные значения функционалу. Дальнейшее увеличение повлечет перемещение точки минимума в точку D.

Граничное значение отношения легко находится, если вспомнить, что вектор – это перпендикуляр к прямой . Уравнение прямой DE – это , а – это вектор ее нормали. На рисунке показан интервал оптимальности и для точки максимума при возрастании коэффициента . Максимум переместится в точку B как только , а при дальнейшем увеличении этого отношения даже в точку C.

Аналогичный подход можно применить и по отношению ко всем остальным коэффициентам модели. Изменение правых частей ограничений приведет параллельному перемещению соответствующих прямых, изменение коэффициентов при переменных – к изменению углов их наклона. Если прямая определяет точку экстремума, то можно определить зависимость приращения координат этой точки от таких изменений. Например, при уменьшении правой части первого ограничения, эта точка будет плавно перемещаться по отрезку AE.

Такой анализ устойчивости решения важен в реальных экономических задачах, когда необходимо учитывать и погрешности в исходных данных и возможные изменения ситуации. Поэтому современные компьютерные программы предусматривают получение отчетов по устойчивости решения, если только это возможно. Проведенный выше анализ иллюстрирует идею такого подхода.