Пример расчета задания №1

1.1. Преобразование пассивного треугольника
в эквивалентную звезду

Рассмотрим схему на рис. 1.1.

Рис. 1.1

В данной схеме (рис. 1.1) пассивным является треугольник, содержащий сопротивления R₄, R₅, R₆.

Упрощаем схему путем преобразования пассивного треугольника в эквивалентную звезду (рис. 1.2).

2

R₄₆

R_{56 01} R₄₅

3 1

Рис. 1.2

R₄₅=R₄R₅/(R₄+R₅+R₆);

R₄₆= R₄R₆/(R₄+R₅+R₆ );

R₅₆=R₅R₆/(R₄+R₅+R₆ ).

В результате преобразования получим схему с двумя узлами
(рис. 1.3):

R_I = R₁+R₄₅,

R_II = R₂+R₄₆,

R_III = R₃+R₅₆.

a б

Рис. 1.3

1.2. Расчет методом наложения

Для расчета используем упрощенную схему с двумя узлами
(рис. 1.4, а).

а б в

Рис. 1.4

Расчет проводим в последовательности:

а) исключаем из схемы Е₂ (рис. 1.4, б). Задаем направление токов I₁^¢, I₂^¢, I₃^¢;

б) методом свертывания схемы определяем токи, создаваемые E₁ (I₁^¢; I₂^¢; I₃^¢):

I₁^¢ = E₁ / R_экв, R_экв = R_I +R_IIR_III / (R_II + R_III),

I₂^¢ = I₁R_III / (R_I + R_III), I₃^¢ = I₁R_II / (R_II + R_III);

в) делаем проверку по первому закону Кирхгофа;

г) исключаем ЭДС Е₁ (рис. 1.4, в). Задаем направления токов I₁^¢¢, I₂^¢¢, I₃^¢¢;

д) аналогично п. б) определяем токи I₁^¢¢; I₂^¢¢; I₃^¢¢. Делаем проверку по первому закону Кирхгофа;

е) определяем токи в упрощенной схеме (рис. 1.4, а) как алгебраическую сумму токов, найденных в п. б) и д). Знак (+) ставим перед частичным током, если его направление совпадает с направлением этого тока в исходной схеме;

ж) делаем проверку по первому закону Кирхгофа.

1.3. Метод двух узлов

(частный случай метода узловых потенциалов)

Расчет проводим в последовательности:

а) задаем направление токов и напряжение в ветвях преобразованной схемы. Для схемы рис. 1.5 определяем проводимость ветвей:

g₁ = 1 / R_I ,

g₂ = 1 / R_II ,

g₃ = 1 / R_III;

б) определяем узловое напряжение, используя метод двух узлов.

Для схемы рис. 1.5:

U_00¢ = ; U_00¢ = ,

где знак (±) зависит от взаимного направления E₁ и E₂: если ЭДС направлена к узлу 0 - (+), если от узла 0 - (-).

в) определяем токи в ветвях упрощенной схемы по закону Ома для активного участка цепи:

I₁ = (E₁ - U_00¢) / R_I I₂ = (E₂ + U_00¢) / R_II I₃ = U_00¢ / R_III;

г) делаем проверку по первому закону Кирхгофа;

д) находим остальные токи в исходной непреобразованной схеме с помощью уравнений второго и первого законов Кирхгофа. Причем, если у полученных значений тока или напряжения окажется знак (-), то это означает, что их действительное направление противоположно выбранному;

е) делаем проверку расчетов по первому закону Кирхгофа для любых двух узлов, используя исходную схему и расчетные значения токов.

1.4. Расчет методом контурных токов

Расчет проводится в последовательности:

а) выбрать направление контурных токов и положительные направления токов во всех ветвях (рис. 1.6);

Рис. 1.6

б) составить систему двух уравнений:

I_k1R₁₁ - I_k2R₁₂ = E₁₁,

- I_k1R₁₂ + I_k2R₂₂ = E₂₂ ;

где R₁₂ = R₂₁ - взаимные сопротивления контуров; R₁₁, R₂₂ - собственные сопротивления контуров, равные сумме сопротивлений соответствующего контура; E₁₁ , E₂₂ - сумма ЭДС соответствующего контура.

Знак взаимного сопротивления определяется направлением контурных токов в нем. Если контурные токи во взаимном сопротивлении совпадают по направлению, то R₁₂ берется со знаком (+), если нет, то (-).

Для схемы рис. 1.6 уравнения имеют вид:

I_k1(R_I + R_III) - I_k2R_III = E₁,

- I_k1R_III + I_k2(R_III + R_II) = E₂.

Если направление ЭДС совпадает с направлением контурного тока, ставится знак (+), если не совпадает, то (-).

Решение системы уравнений с помощью определителей:

R_I + R_III - R_III E₁ - R_III

- R_III R_III + R_II; E₂ R_III + R_II;

R_I + R_III E₁

- R_III E₂.

Токи во внешних ветвях равны соответствующим контурным токам, а в смежных - алгебраической сумме соответствующих контурных токов.

I_k1 = I₁ = D₁ / D, I_k2 = I₂ = D₂ / D.

Для схемы рис. 1.6 I₃ = I_k1 - I_k2, т.к. контурные токи в резисторе R_III направлены навстречу друг другу;

в) делаем проверку по первому закону Кирхгофа;

г) сравниваем токи, найденные методом контурных токов, с токами, найденными другими методами. Они должны быть равны.

1.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОКОВ В ЭКВИВАЛЕНТНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ИСХОДНОЙ СХЕМЫ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ЗАКОНА КИРХГОФА

Рис. 1.7

Для схемы рис. 1.7 уравнения второго закона Кирхгофа имеют вид (направление обхода контуров – по часовой стрелке):

E₂ = I₂R₂ + I₆R₆ - I₃R₃;

-E₂ - E₁ = - I₂R₂ - I₁R₁ - I₄R₄;

0 = I₄R₄ + I₅R₅ - I₆R₆.

Отсюда получаем:

;

;

.

Если в результате решения этих уравнений ток получится со знаком (-), то это означает, что действительное направление тока противоположно выбранному.

1.6. определение тока I_K (к = 5) Методом эквивалентного генератора

Определяем ЭДС эквивалентного генератора Е_экв, то есть напряжение между узлами, к которым подключена n_k(к=5) ветвь. Для этого убираем ветвь с R₅ (рис. 1.8) и находим токи в оставшейся схеме любым ранее рассмотренным методом.

Например, в схеме на рис. 1.8 находим токи методом двух узлов.

U₀₂ = [(E₁(R₁+ R₄)) - (E₂/R₂)] / [(1/(R₁+ R₄))+(l/ R₂)+(l/(R₃+ R₆)).

Рис. 1.8

I₁ = (E₁-U₀₂) / (R₁+R₄); I₂ = (E₂ + U₀₂) / R₂;

I₃ = U₀₂ / (R₃ + R₆).

Определяем Е_экв = U_xx = j₁ - j₃ ,

где j₀ = 0; j₃= - I₃ R₃ ; j₁ = I₁R₁ - E₁.

Для того чтобы найти внутреннее сопротивление эквивалентного генератора относительно зажимов (3) и (1), закорачиваем все ЭДС и рассчитываем схему методом эквивалентных преобразований
(рис. 1.9).

а б

Рис. 1.9

R₂₁ = R₂ R₁/(R₁+ R₂+ R₄),

R₁₄ = R₄R₁/(R₁+ R₂+ R₄),

R₂₄ = R₂R₄/(R₁+ R₂+ R₄),

R_экв = R₁₄+[(R₃+R₂₁)(R₆+R₂₄)/(R₃+R₂₁+R₆+R₂₄)].

Находим ток в пятой ветви: I₅ = E_экв / (R_экв + R₅).

Значение тока I_k (I₅) должно соответствовать значению тока в этой ветви, найденному другими методами. Значения токов, вычисленные разными методами, запишем в табл. 1.2. Погрешность расчета не должна превышать 2 %.

Таблица 1.2

1.7. Баланс мощностей

По закону сохранения энергии мощность, потребляемая от источника, равна мощности, выделяемой в потребителе:

± E₁I₁ ± E₂I₂ = I₁² R₁ + I₂² R₂ + I₃² R₃ + I₄² R₄ + I₅² R₅ + I₆² R₆ .

Знак перед произведением E и I определяется по направлению
E и I: если они совпадают, берется (+), если противоположны - (-). Погрешность расчета баланса мощностей не должна превышать 2 %.

1.8. Построение потенциальной диаграммы

Для построения потенциальной диаграммы выбираем любой контур исходной схемы, содержащей две ЭДС (E₁ и E₂). Обозначим истинные направления токов в ветвях и зададим направление обхода контура, заземлим любую точку контура и вычислим потенциалы всех других точек (см. пример расчета рис. 1.10). Потенциальная диаграмма приведена на рис. 1.11.

j_a = 0;

j_b= j_a - E₂;

j_c= j_b+ I₂ R₂;

j_d = j_c + I₁R₁;

j_k = j_d - E₁;

j_a = j_k + I₄R₄ = 0.

Рис. 1.10

j_,(В) d

c

a R(Oм)

а

R₂ R₁ R₄

b

-j

Рис. 1.11

ВОПРОСЫ К ЗАДАНИЮ № 1

Цепи постоянного тока. Алгоритмы расчета цепей с последовательным, параллельным и смешанным соединением сопротивлений.

ЗАДАНИЕ № 2